ФЭНДОМ


Нормальное распределение
Плотность вероятности
Плотность нормального распределения
Зелёная линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения
Функция распределения нормального распределения
Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры $ \mu $ - коэффициент сдвига (вещественное число)
$ \sigma^2>0 $ - коэффициент масштаба (вещественный)
Носитель $ x \in (-\infty;+\infty)\! $
Плотность вероятности $ \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \! $
Функция распределения $ \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \! $
Математическое ожидание $ \mu $
Медиана $ \mu $
Мода $ \mu $
Дисперсия $ \sigma^2 $
Коэффициент асимметрии 0
Коэффициент эксцесса $ 0 $
Информационная энтропия $ \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\! $
Производящая функция моментов $ M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) $
Характеристическая функция $ \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) $

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Характеристики распределения Править

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения $ \mu $ и масштаба $ \sigma $ (или, что тоже самое, дисперсией $ \sigma^2 $) имеет следующий вид:

$ p (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right). $

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

$ F (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {(t - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right) dt. $

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при $ \mu = 0,\ \sigma = 1 $) часто обзначают как $ \operatorname {\Phi} (\cdot) $:

$ \operatorname {\Phi} (x) = F (x; 0, 1) = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {t^2} 2 \right) dt. $

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через $ \operatorname {\Phi} (\cdot) $:

$ F (x; \mu, \sigma) = \operatorname {\Phi} \left( \frac {x - \mu} \sigma \right). $

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

$ f (t) = \operatorname {E} \{e ^ {i t \xi}\} = \exp \left( i \mu t - \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right), $

где $ \xi \sim N (\mu, \sigma^2) $ — нормально распредёленная с параметрами $ \mu $ и $ \sigma $ случайная величина.

Производящая функция моментов $ \xi $ определена для всех вещественных t задаётся формулой

$ M (t) = \operatorname {E} \{e ^ {t \xi}\} = \exp \left( \mu t + \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right). $

Процентили стандартного нормального распределенияПравить

Процентили стандартного нормального распределения задаются уравнением

$ \Phi(z_{\alpha}) = \alpha, \quad \alpha \in [0,1] $.

Ниже суммированы значения процентилей для наиболее чaсто встречающихся значений $ \alpha $.

$ \alpha $ 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
$ z_{\alpha} $ −1,6449 −1,2816 −1,0364 −0,8416 −0,6745 −0,5244 −0,3853 −0,2533 −0,1257 0 0,1257 0,2533 0,3853 0,5244 0,6745 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449

Моделирование нормальных случайных величин Править

Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.

Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению Править

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.

Курьёзы с нормальным распределением Править

В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.

Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.

См. также Править

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
ar:توزيع احتمالي طبيعي

bs:Normalna distribucija ca:Distribució normal cs:Normální rozdělení cy:Dosraniad normal da:Normalfordelingeo:Normala distribuofa:توزیع نرمالgl:Distribución normal he:התפלגות נורמלית hr:Normalna raspodjela hu:Normális eloszlás id:Distribusi normal is:Normaldreifinglt:Normalusis skirstinys lv:Normālsadalījums nl:Normale verdeling no:Normalfordeling pl:Rozkład normalnysimple:Normal distribution sr:Нормална расподела su:Sebaran normal sv:Normalfördelning uk:Нормальний розподіл ur:معمول توزیع vi:Phân bố chuẩn

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.