Нера́венство Йе́нсенанеравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.

Формулировка

Пусть - вероятностное пространство, и - определённая на нём случайная величина. Пусть также - выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то

,

где означает математическое ожидание.

Замечание

  • Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.

Конечномерный вариант

Предположим, что имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

Тогда неравенство Йенсена принимает вид:

.

Следствия

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, - под-σ-алгебра событий. Тогда

,

где обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .


Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Йенсена русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.