Нера́венство Йе́нсена — неравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.
Содержание
Формулировка
Пусть вероятностное пространство, и - определённая на нём случайная величина. Пусть также - выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то
-- ,
Замечание
- Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
Конечномерный вариант
Предположим, что дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности
имеетТогда неравенство Йенсена принимает вид:
- .
Следствия
- Неравенство Гиббса в теории информации;
- Теорема Рао — Блекуэлла — Колмогорова в математической статистике.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, под-σ-алгебра событий. Тогда
-- ,
где условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .
обозначает
Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Йенсена русской Википедии.
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.