Нера́венство Йе́нсена — неравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.
Формулировка
Править
Пусть $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ - вероятностное пространство, и $ X:\Omega \to \mathbb{R} $ - определённая на нём случайная величина. Пусть также $ \phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ - выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если $ X, \phi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, то
- $ \phi(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[\phi(X)] $,
где $ \mathbb{E}[\cdot] $ означает математическое ожидание.
ЗамечаниеПравить
- Если функция $ \phi $ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
Конечномерный вариантПравить
Предположим, что $ X $ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности
- $ \mathbb{P}(X = x_i) = \alpha_i \ge0,\; i= 1,\ldots, n;\; \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i = 1. $
Тогда неравенство Йенсена принимает вид:
- $ \phi \left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \phi (x_i) $.
СледствияПравить
- Неравенство Гиббса в теории информации;
- Теорема Рао — Блекуэлла — Колмогорова в математической статистике.
Неравенство Йенсена для условного математического ожиданияПравить
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, $ \mathcal{G}\subset \mathcal{F} $ - под-σ-алгебра событий. Тогда
- $ \phi(\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]) \le \mathbb{E}[\phi(X) \mid \mathcal{G}] $,
где $ \mathbb{E}[\cdot \mid \mathcal{G}] $ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры $ \mathcal{G} $.
Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Йенсена русской Википедии.
