Математика
Advertisement

Непреры́вное отображе́ние (фу́нкция) в математическом анализе и смежных дисциплинах — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.

Непрерывная числовая функция

Continuidad de funciones 04.svg
  • Пусть дана функция и Тогда говорят, что непрерывна в точке и пишут если
  • Пусть дано подмножество Тогда говорят, что непрерывна на и пишут если

Замечания

Базовые свойства

  • Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть Тогда существует окрестность такая, что
  • Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть . Тогда
  • Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть и — произвольная константа. Тогда
  • Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть . Тогда
  • Дробь непрерывных функций также является непрерывной. Пусть и Тогда существует окрестность в которой функция определена, и
  • Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть Тогда

Дополнительные свойства

Разрывные функции

Если функция не является непрерывной в точке то говорят, что она в ней разры́вна и пишут Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

  1. Либо предел не существует;
  2. Либо он существует, но

Устранимый разрыв

Пусть существует но или Тогда называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке.

Разрыв первого рода

Continuidad de funciones 07.svg

Пусть не сущестует двусторонний предел но существуют конечные (и различные) односторонние пределы и Тогда и называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

Разрыв второго рода

Если и не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть если хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

Примеры

непрерывна в любой точке Точка является точкой устранимого разрыва, ибо

  • Функция знака

непрерывна в любом Точка является точкой разрыва первого рода, ибо

  • Функция

непрерывна в любом Точка является точкой разрыва второго рода, ибо, например,

Односторонне непрерывная числовая функция

  • Пусть дана функция и Тогда говорят, что непреры́вна спра́ва в точке если
  • Говорят, что непреры́вна сле́ва в точке если

Замечания

  • Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
  • Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует правосторонний предел
  • Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует левосторонний предел
  • Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры

  • Функция

непрерывна справа (но не слева) в точке Во всех других точках она непрерывна.

Обобщения

Непрерывное отображение из Rm в Rn

Обобщая одномерный случай, функция называется непрерывной в точке если

где

— евклидова норма в

Непрерывное отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния называются метрическими пространствами. Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если

Непрерывное отображение топологических пространств

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств , позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

Cм. также


Эта статья содержит материал из статьи Непрерывное отображение русской Википедии.

Advertisement