Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции $f(x)\,$ — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция $f(x)\,$ определена и непрерывна на промежутке $(a,b)\,$ и $F(x)\,$ — её первообразная, то есть $F'(x) = f(x)\,$ при $a<x<b\,$, то

$\int f(x) dx = F(x) + C, \,$ $a<x<b\,$,

где С — произвольная постоянная.

$d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx$

$\int d(F(x)) = F(x)+C$

$\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

Если $\int f(x) dx = F(x) + C$, то и $\int f(u) du = F(u)+C$, где $u = \varphi (x)$ — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

$du=d(u+C)\,$

$du = {1 \over a} d(au)$

$f'(u) \cdot du = d(f(u))$

Основные методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

$\int g(x) dx = G(x) + C, \,$

то

$\int g(u) du = G(u) + C, \,$

где $u = \varphi (x) \,$ — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

$g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,$

то

$\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,$

3. Метод подстановки. Если $g(x)\,$ — непрерывна, то, полагая

$x = \varphi (t), \,$

где $\varphi (t) \,$ непрерывна вместе со своей производной $\varphi' (t) \,$, получим

$\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,$

4. Метод интегрирования по частям. Если $u\,$ и $v\,$ — некоторые дифференцируемые функции от $x\,$, то

$\int u dv = uv - \int v du. \,$

Таблица основных неопределённых интегралов

$\int 0 \cdot dx = C ; \,$

$\int 1 \cdot dx = x + C ; \,$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \,$ $(n \ne -1); \,$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,$

$\int e^x dx = e^x + C ; \,$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \,$ $(a>0, a \ne 1); \,$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C ; \,$

$\int \sin x \, dx = - \cos x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}\, x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \mathrm{ctg}\, x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C' (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,$

$\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\, x + C; \,$

$\int \mathrm{ch}\, x dx = \mathrm{sh}\, x + C; \,$

$\int \mathrm{sh}\, x dx = \mathrm{ch}\, x + C; \,$

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа $C\,$ такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.