Мультиномиальное распределение

Традиционная интерпретация 20-го века

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.

Определение

Пусть $X_1,\ldots ,X_n$ - независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

$\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k$.

Интуитивно событие $\{X_i = j\}$ означает, что испытание с номером $i$ привело к исходу $j$. Пусть случайная величина $Y_j$ равна количеству испытаний, приведших к исходу $j$:

$Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k$.

Тогда распределение вектора $\mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top}$ имеет функцию вероятности

$p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \begin{matrix} {n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_i = n \\ 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n \end{matrix} \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0$,

где

${n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}$ — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины $Y_j$имеет вид: $\mathbb{E}[Y_j] = np_j$. Диагональные элементы матрицы ковариации $\Sigma = (\sigma_{ij})$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

$\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k$.

Для остальных элементов имеем

$\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j$.

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен $k - 1$.

Постулаты и их ложность

Традиционная интерпретация 20-го века мультиномиального распределения основана на трёх ложных постулатах

1. Характеристики случайных величин $X_1,\ldots,X_k$ мультиномиального распределения определены при повторных независимых экспериментах, то есть методом выбора с возвращением;
2. Каждая из случайных величин $X_i$, $i=1,\ldots,k$ мультиномиального распределения имеет биномиальное распределение c математическим ожиданием $np_i$ и дисперсий $np_iq_i$, где $q_i=1-p_i$;
3. Биномиальное распределение является распределением одной случайной величины $X_i$, $i=1,\ldots,k$ :

$P(X_i=n_i)={n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}$.

Ложность постулатов доказывается тремя теоремами , .

Теорема 1. Случайные величины $X_2,\ldots,X_k$ (кроме первой, в общем случае ) мультиномиального распределения не являются независимыми и не имеют независимые математические ожидания $np_i,\quad i=1,\ldots,k$.

Доказательство. Если бы каждая из случайных величин мультиномиального распределения имела независимое математическое ожидание, равное $np_i$, то произведение математических ожиданий случайных величин обязано было быть математическим ожиданием мультиномиального распределения

$E(X_1=n_1\cdots X_k=n_k)=np_1\cdots np_k=n^kp_1\cdots p_k.$

Тогда при неограниченном возрастании числа $n$ независимых экспериментов математическое ожидание мультиномиального распределения устремилось бы к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, согласно аксиоматике Колмогорова, обязана быть равной единице. Теорема доказана.

Теорема 2. Каждая из случайных величин мультиномиального распределения не имеет биномиальное распределение $P(X_i=n_i)={n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}$.

Доказательство. Если бы случайные величины $X_1,\ldots,X_k$ и их характеристики были независимыми, и каждая из этих величин имела бы биномиальное распределение

$P(X_i=n_i)={n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}$, то по правилу перемножения независимых вероятностей их произведение

$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)={n\choose n_1}\cdots {n\choose n_k} p_1^{n_1}q_1^{n-n_1}\cdots p_k^{n_k}q_k^{n-n_k}$

должно было быть вероятностью мультиномиального распределения. Однако полученный результат не соответствует формуле мультиномиального распределения. Теорема доказана.

Теорема 3. Биномиальное распределение есть распределение двух случайных величин.

Доказательство. Если утверждается, что мультиномиальное распределение естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при числе случайных величин и/или экспериментов, равных двум ($k=2$ и/или $n=2$), то, с учетом этих условий из формулы мультиномиального распределения обязаны получить биномиальное распределение как распределение двух случайных величин:

$P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$2\le k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n=2, \quad p_1+p_2=1.$

Теорема доказана. Характер зависимости случайных величин описан ниже.

Парадокс мультиномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века

Парадокс мультиномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века (http://wikipedia.ru/wiki/полиномиальное распределение) заключается в том, что это распределение считается распределением независимых случайных величин, а на самом деле оно является распределением зависимых (кроме первой) случайных величин.

На независимость всех случайных величин мультиномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века указывает, во-первых, определение его вероятностной схемы , суть которой в том, что каждая из случайных величин $X_j$ есть появление одного из взаимоисключающих событий $A_j, \quad j=1,\ldots,k$ при повторных независимых испытаниях.

В каждом испытании вероятность появления события $A_j$ равна $p_j$ и поэтому вероятность

$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$

равна вероятности того, что при $n$ независимых испытаниях события $A_1,\ldots,A_k$ появятся независимо $n_1, \ldots, n_k$ раз соответственно;

во-вторых, приведённая математическая форма записи совместного распределения вероятностей ;

в третьих, появление распределения в вероятностной схеме повторных независимых испытаниях.

В мультиномиальном распределении интерпретации 21-го века только первая случайная величина является независимой. Зависимость остальных случайных величин проявляется в том, что каждая последующая случайная величина зависит от всех ей предшествующих случайных величин распределения:

$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}.$

Парадокс возник из-за ложности постулатов, лежащих в основе мультиномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века.

Литература

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

Мультиномиальное распределение интерпретации 21-го века

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние интерпретации 21-го века — это распространение биномиального распределения интерпретации 21-го века "на случай скольких угодно событий" — зависимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами (таблица 1).

Таблица 1 – Характеристики мультиномиального распределения настоящей интерпретации 21-го века

Пространство элементарных событий	$\sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})$
Вероятность	$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=$${\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}}p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{k}^{n_{k}}$
Максимальная вероятность (при математическом ожидании распределения)	$\left(\prod_{i=1}^nP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}) \right)_{max}=$$=\left(\frac{n!}{n_1! \cdots n_n!} p_1^{n_1}\cdots p_n^{n_n}\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}$
Математическое ожидание (как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)	$\left(\prod_{i=1}^nE(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=$$=\left(\prod_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_i\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}$
Дисперсия	$\sum_{i=1}^kD(t_i,X_i=n_i)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i$
Максимальная дисперсия (при математическом ожидании распределения)	$\left(\sum_{i=1}^nD(t_i,X_i=n_i)\right)_{max}=$$\left(\sum _{i=1}^{n}(n-\ldots -n_{i-1})p_{i}q_{i}\right)_{max}={\frac {n^{2}-1}{2n}}$
Ковариационная матрица	$B=\| b_{ij} \|$, где$b_{ij} = \begin{cases} (n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
Корреляционная матрица	$\Rho=\| \rho_{ij} \|$, где$\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
$\chi^2$ - критерий	$\chi^2=\sum_{i=1}^k [X_i-(n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}=$$=-n+\sum_{i=1}^kX_i^2 /( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}$

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов

Мультиномиальное распределение появляется в так называемой мультиномиальной (полиномиальной) схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности $t_1,\ldots,t_k$, номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.

Каждая из случайных величин распределения $X_i=n_i|X_{i-1}=n_{i-1}$ — это число $n_i$ наступлений одного соответствующего события

$x_i,\quad i=1,\ldots,k$

в $i$ - ый момент времени при условии, что в $(i-1)$ - ый момент произошло $n_{i-1}$ наступлений предшествующего события $x_{i-1}$, — распределения Бернулли с успехом, вероятности которых $p_i, \quad i=1,\ldots,k$ нормированы $p_1+\ldots+p_k=1$ и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события $x_i$ равна $p_i$, то мультиномиальная (полиномиальная) вероятность равна вероятности того, что при $n$ экспериментах события $x_1, \ldots, x_k$ наступят $n_1, \ldots, n_k$ раз соответственно.

Случайная величина мультиномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности $t_1,\ldots,t_k$ имеет:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0 \le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],$

вероятность

$P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i},$

математическое ожидание

$E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})p_i$

и дисперсию

$D(t_i,X_i=n_i)=( n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i.$

Пространство элементарных событий мультиномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек $t_1,\ldots,t_k$ цикла, а вероятность мультиномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.

Технические задачи и технические результаты

Для получения мультиномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике , .

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания мультиномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания мультиномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица , $\chi^2$ -квадрат критерий и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией мультиномиального распределения.

Мультиномиальное распределение (полиномиальное распределение) — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой, в общем случае) случайных величин

$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

$2\le k \le n <\infty,$

определённых на точечных пространствах элементарных событий

$\Omega_1, \ldots, \Omega _k$

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

$t_1, \ldots, t_k, \quad t_i<t_{i+1}$

целые неотрицательные значения

$n_1, \ldots, n_k,$

взаимосвязанные условием

$n_1+\ldots+n_k=n,$

согласно которому

$X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}$

в $i$ - ый момент времени $i$ - ая случайная величина $X_i$ принимает значение $n _i, \quad 0\le n_i\le n-\ldots- n_{i-1}$ при условии, что в предшествующий момент времени $n _{i-1}, \quad t_{i-1}<t_i$ предшествующая случайная величина $X_{i-1}$ приняла значение $n _{i-1}, \quad 0\le n_{i-1}\le n-\ldots-n_{i-2}$.

Характер зависимости случайных величин в каждом цикле экспериментов:

• Первая по номеру случайная величина первая и во временной последовательности случайных величин и потому независимо от них она в первый момент времени может принять значение, лежащее в пределах от нуля до $n$ включительно;

• Если первые $k - 1$ случайные величины приняли положительные значения $n_1,\ldots,n_{k-1}$, то последняя $X_k$ обязана принять либо положительное значение $n_k$, единственно возможное и дополняющее до $n$ сумму $n_1+\ldots+n_{k-1}$ числовых значений предшествующих ей случайных величин $n_1+\ldots+n_k=n$, либо нулевое значение $n_k=0$, если сумма числовых значений предшествующих ей случайных величин равна $n$ : $n_1+\ldots+n_{k-1}=n$ ;

• Если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё максимально возможное значение, равное $n$, то все остальные случайные величины этой временной последовательности обязаны принять свои минимальные (нулевые) значения в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений всех случайных величин распределения $n_1+\ldots+n_k=n$ ;

• Если первая случайная величина в первый момент времени приняла нулевое значение, то вторая случайная величина во второй момент времени будет независимой и может принимать одно из возможных значений от нуля до числа $n$ включительно.

И так далее до предпоследней случайной величины одной последовательности.

• Если и предпоследняя случайная величина приняла нулевое значение, то в последний, $k$ - ый момент времени последняя $X_k$ случайная величина обязана принять максимальное и единственно возможное значение, равное $n$, в противном случае не будет выполнено условие $n_1+\ldots+n_k=n$ .

Характеристики случайных величин мультиномиального распределения:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0 \le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],$

вероятность

$P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i},$

математическое ожидание

$E(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})p_i,$

дисперсия

$D(t_i,X_i=n_i)=( n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i,$

производящая

$A(s_i)=(1+p_is_i)^{ n-\ldots-n_{i-1}}$

и характеристическая

$f(t_i)=(1+p_ie^{jt_i})^{ n-\ldots-n_{i-1}}$

функции.

Характеристики мультиномиального распределения:

пространство элементарных событий распределения как совместное пространство элементарных событий его случайных величин

$\sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),$

вероятность

$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

дисперсия

$\sum_{i=1}^kD(t_i,X_i=n_i)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i,$

ковариационная матрица $B=\| b_{ij} \|$, где

$b_{ij} = \begin{cases} (n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, & i=j,\\ 0, & i \not= j, \end{cases}$

корреляционная матрица $\Rho=\| \rho_{ij} \|$, где

$\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j, \end{cases}$

(Дисперсия мультиномиального распределения равна сумме дисперсий случайных величин распределения, ковариационная и корреляционная матрицы мультиномиального распределения являются диагональными, поскольку зависимые случайные величины распределения разнесены по времени и определены не на пересекающихся пространствах элементарных событий.),

$\chi^2$ - квадрат критерий для мультиномиально (полиномиально) распределенных случайных величин

$\chi^2=\sum_{i=1}^k [X_i-(n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}=$

$= -n+\sum_{i=1}^kX_i^2 /( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}.$

Вероятностная схема мультиномиального распределения

содержит циклы повторных зависимых экспериментов. Количество циклов не ограничено. В каждом цикле число экспериментов равно числу случайных величин распределения и в общем случае только первый эксперимент является независимым, а все последующие эксперименты в цикле зависимы от результатов предшествующих экспериментов. Все эксперименты осуществляют методом выбора без возвращения — изъятые элементы не возвращают на свое прежнее место до полного окончания данного цикла.

Случайные события – выборки случайного объема $n_i, i=1,\ldots,k, \sum_{i=1}^kn_i=n$ из $n$ - множества различимых (различающиеся между собой хотя бы одним признаком, например, порядковым номером) неупорядоченных (хаотично расположенных) элементов, осуществляемые в последовательные моменты времени $t_1,\ldots,t_k$.

Число выборок $k, 2\le k\le n<\infty$ равно числу случайных величин распределения.

Случайные величины $X_i, i=1,\ldots,k$ распределения — появления случайного числа элементов $n$ - множества в $n_i$ - подмножествах $n_i, i=1,\ldots,k$, с вероятностями $p_i$ каждого из них.

Попадание одного произвольного элемента $n$ - множества в одно из $n_i$ - подмножеств — независимое событие распределения Бернулли с положительным исходом $0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n$.

Вероятности этих событий неизменны в процессе проведения повторных зависимых экспериментов и пронормированы $\sum_{i=1}^kp_i=1$ согласно аксиоматике Колмогорова.

Один цикл повторных зависимых экспериментов, осуществляемых методом выбора без возвращения — последовательность $k$ выборок случайных объёмов $n_1, \ldots, n_k$, обработка результатов разделения $n$ - множества на $n_i$ - подмножества, $i=1,\ldots,k$ в последовательные моменты времени $t_1,\ldots,t_k$ и возврат всех $n$ изъятых элементов на прежнее место к началу следующего цикла.

Совместное произведение вероятностей попадания $k$ выборок случайных объёмов $n_1, \ldots, n_k$ в $k$ подмножеств в одном цикле экспериментов — вероятность мультиномиального распределения.

Урновая модель мультиномиального распределения содержит одну исходную урну и $k$ приёмных урн. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин мультиномиального распределения.

В начальный момент времени $t_0$ исходная урна содержит $n$ - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.

В первый момент времени $t_1$ из исходной урны осуществляют первую выборку $n_1, 0 \le n_1 \le n$ случайного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью $p_1$ каждого элемента.

Во второй момент времени $t_2$ из оставшихся $n-n_1$ различимых неупорядоченных элементов исходной урны осуществляют вторую выборку $n_2, 0\le n_2\le{n-n_1}$ случайного объёма и направляют её во вторую приёмную урну с вероятностью $p_2$ каждого элемента.

И так далее.

Наконец, в $k$ - ый момент времени все элементы $n_k=n-\ldots-n_{k-1}$, оставшиеся в исходной урне, направляют в $k$ - ую приёмную урну с вероятностью $p_k$ каждого.

В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного $n$ - множества на $k$ - подмножеств все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.

На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.

Произведение вероятностей попаданий $n_1,n_2,\ldots,n_k$ элементов в приёмные урны есть вероятность мультиномиального распределения.

Способ получения вероятностей мультиномиального распределения

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части случайных объёмов.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): $2\le n<\infty$.

Составные части — дискретные подмножества $2\le k \le n < \infty$, в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени $t_0$, не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$, множество содержит $n, 2\le n < \infty$ различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени $t_1$ из $n$-множества осуществляют первую выборку случайного объёма $n_1, 0 \le n_1 \le n$ с вероятностью $p_1$ каждого её элемента.

Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1, X_1=n_1)$ мультиномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1$, умноженным на вероятность $p_1$ выбора одного элемента, возведённую в степень числа $n_1$ выбранных элементов:

$P_1(t_1, X_1=n_1)={n \choose n_1}p_1^{n_1}.$

Во второй момент времени $t_2$ из оставшихся $n-n_1$ элементов исходного множества осуществляют вторую выборку случайного объёма $n_2,0 \le n_2 \le n-n_1$ с вероятностью $p_2$ каждого её элемента.

Вероятность второй случайной величины $P_2(t_2, X_2=n_2)$ при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение $P(t_1, X_1=n_1)$, определяется числом сочетаний ${n-n_1 \choose n_2}$ из $n-n_1$ по $n_2$, умноженным на вероятность $p_2$ выбора одного её элемента, возведённую в степень числа $n_2$ выбранных элементов:

$P_2(t_2, X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n-n_1 \choose n_2}p_2^{n_2}.$

И так далее.

В $i$-ый момент времени из оставшихся $n-n_{i-1}$ элементов исходного множества осуществляют $i$-ую выборку случайного объёма $n_i, 0 \le n_i \le n-n_{i-1}$ с вероятностью $p_i$ каждого её элемента. Вероятность $i$-ой случайной величины $P_i(t_i, X_i=n_i)$ при условии, что в $i-1$-ый момент времени вероятность $i-1$-ой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение $P_{i-1}(t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})$, определяется числом сочетаний ${n-n_{i-1} \choose n_i}$ из $n-n_{i-1}$ по $n_i=1$, умноженным на вероятность $p_i$ выбора одного её элемента, возведённую в степень числа $n_i$ выбранных элементов:

$P_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})={n-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i}.$

Произведение всех вероятностей есть вероятности мультиномиального распределения интерпретации 21-го века — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин

$\prod_{i=1}^kP_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

$\sum_{i=1}^kn_i=n, \quad \sum_{i=1}^kp_i=1.$

В частном случае, когда число случайных величин $k=2$ равно двум и множество содержит два элемента $n=2$, имеют место вероятности биномиального распределения интерпретации 21-го века

$\prod_{i=1}^2P_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$\sum_{i=1}^2n_i=n, \quad \sum_{i=1}^2p_i=1.$

Способ получения математического ожидания мультиномиального распределения

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей мультиномиального распределения интерпретации 21-го века тем, что число выборок $k$ равно числу $n$ элементов исходного множества $k=n$ и каждая выборка имеет единичный объём: $n_i=1,\quad i=1, \ldots, n, \quad k=n$.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): $2\le n<\infty$.

Составные части — дискретные подмножества $2\le k \le n < \infty$, в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени $t_0$, не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$, множество содержит $n, 2\le n < \infty$ элементов.

В первый момент времени $t_1$ из $n$-множества осуществляют первую выборку $n_1=1$ единичного объёма с вероятностью $p_1=n^{-1}$.

Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$ мультиномиального распределения определяется числом сочетаний из $n$ по $n_1=1$ ${n \choose n_1}$, умноженным на вероятность $p_1=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_1(t_1, X_1=n_1=1)={n \choose n_1}p_1={n \choose 1}n^{-1}=\frac{n}{n}.$

Во второй момент времени $t_2$ из оставшихся $n-n_1$ элементов исходного множества осуществляют вторую выборку $n_2=1$ единичного объёма с вероятностью $p_2=n^{-1}$.

Вероятность второй случайной величины $P_2(t_2, X_2=n_2=1)$ при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$ определяется числом сочетаний из $n-n_1$ по $n_2=1$ ${n-n_1 \choose n_2}$, умноженным на вероятность $p_2=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)={n-n_1 \choose n_2}p_2={n-n_1 \choose 1}n^{-1}=\frac{n-1}{n}.$

И так далее.

В $i$-ый момент времени из оставшихся $n-n_{i-1}$ элементов исходного множества осуществляют $i$-ую выборку $n_i=1$ единичного объёма с вероятностью $p_i=n^{-1}$.

Вероятность $i$-ой случайной величины $P_i(t_i, X_i=n_i=1)$ при условии, что в $i-1$-ый момент времени вероятность $i-1$-ой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение $P_{i-1}(t_{i-1}, X_{i-1}=n_{i-1}=1)$ определяется числом сочетаний из $n-n_{i-1}$ по $n_i=1$ ${n-n_{i-1} \choose n_i}$, умноженным на вероятность $p_i=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_i(t_i, X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=1)={n-n_{i-1}\choose n_i}p_i={n-n_{i-1}\choose 1}n^{-1}=\frac {n-n_{i-1}}{n}.$

Произведение всех вероятностей есть математическое ожидание мультиномиального распределения интерпретации 21-го века

$\prod_{i=1}^nP_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^n\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {n!}{n^n},$

$\sum_{i=1}^nn_i=n, \quad \sum_{i=1}^np_i=1.$

В частном случае, когда число случайных величин $k=2$ равно двум и множество содержит два элемента $n=2$, имеет место математическое ожидание биномиального распределения интерпретации 21-го века

$\prod_{i=1}^2P_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^2\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {1}{2},$

$\sum_{i=1}^2n_i=n, \quad \sum_{i=1}^2p_i=1.$

Два варианта получения математического ожидания мультиномиального распределения:

или как максимум произведения математических ожиданий случайных величин мультиномиального распределения,

или как максимум вероятности мультиномиального распределения.

Необходимые условия в обоих вариантах одни и те же:

$n=k, \qquad n_i=1, \qquad 0<p_i<1, \qquad i=1,\ldots,n,$

но выполняются двояко:

либо увеличением числа $k$ случайных величин в цикле до числа $n$ экспериментов ($k=n$),

либо сокращением числа $n$ экспериментов в цикле до числа $k$ случайных величин ($n=k$).

Достаточные условия:

в первом варианте

$p_1=\ldots=p_n=n^{-1},$

во втором варианте

$p_1=\ldots=p_k=K^{-1},$

где $K$ — сокращенное число $n$ экспериментов в цикле до числа $k$ случайных величин: ($K=n=k$).

Первый вариант

Математическое ожидание и максимальная вероятность мультиномиального распределения соответственно

$\left(\prod_{i=1}^nE(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=\left(\prod_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_i)\right)_{max}=\frac{n!}{n^n},$

$\left(\prod_{i=1}^nP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}) \right)_{max}=\left(\frac{n!}{n_1! \cdots n_n!} p_1^{n_1}\cdots p_n^{n_n}\right)_{max}=\frac{n!}{n^n},$

максимальная дисперсия

$\left(\sum_{i=1}^nD(t_i,X_i=n_i)\right)_{max}=\left(\sum_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i\right)_{max}=\frac{n^2-1}{2n},$

пространство элементарных событий

$\sum_{i=1}^n\Omega_i(t_i, X_i=n_i=1 \mid t_{i-1}, X_{i-1}=n_{i-1}=1),$

расположенное в точках $t_1,\ldots,t_n$ временной последовательности. Число случайных величин распределения равно $n$ и каждая случайная величина принимает единичное значение: $X_i=n_i=1$, $i=1,\ldots,n$.

Характеристики случайных величин первого варианта получения математического ожидании мультиномиального распределения:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=n_i=1)=[n_j=1, j=1,\ldots,n-i+1], \qquad i=1,\ldots,n,$

вероятность

$P(t_i, X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)= {n-i+1\choose n_i}{p_i^{n_i}}=\frac{n-i+1}{n},$

математическое ожидание

$E(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\frac{n-i+1}{n},$

дисперсия

$D(t_i,X_i=n_i)=(n-i+1)p_iq_i=(n-i+1)\frac{n-i}{n^2}.$

Урновая модель первого варианта получения математического ожидания мультиномиального распределения

содержит одну исходную урну и $n$ приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин распределения.

В начальный момент времени $t_0$ исходная урна содержит $n$ - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.

В первый момент времени $t_1$ из исходной урны осуществляют первую выборку единичного объёма $n_1=1$ и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью $p_1=n^{-1}$.

Во второй момент времени $t_2$ из исходной урны, содержащей $n-1$ элементов осуществляют вторую выборку единичного объёма $n_2=1$ и направляют её во вторую приёмную урну с вероятностью $p_2=n^{-1}$.

И так далее.

Наконец, в последний, $n$ - ый момент времени из исходной урны, содержащей один элемент $n-\ldots-n_{n-1}=1$, направляют его в $n$ - ую приемную урну с вероятностью $p_n=n^{-1}$.

В результате исходная урна пуста, а все её $n$ элементов по одному размещены в приёмных урнах.

После обработки результатов разбиения исходного $n$ - множества на $n$ - подмножеств все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.

На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу исходного $n$ - множества в $n$ приёмных урн есть математическое ожидание мультиномиального распределения.

Второй вариант

Математическое ожидание и максимальная вероятность соответственно

$\left(\prod_{i=1}^kE(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=\left(\prod_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_i)\right)_{max}=\frac{K!}{K^k},$

$\left(\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}) \right)_{max}=\left(\frac{K!}{K_1! \cdots K_k!} p_1^{K_1}\cdots p_k^{K_k}\right)_{max}=\frac{K!}{K^k},$

максимальная дисперсия

$\left(\sum_{i=1}^kD(t_i,X_i=n_i)\right)_{max}=\left(\sum_{i=1}^k(K-\ldots-K_{i-1})p_iq_i\right)_{max}=\frac{K^2-1}{2K},$

пространство элементарных событий

$\sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=K_i=1\mid t_{i-1},X_{i-1}=K_{i-1}=1)$

расположено в точках $t_1,\ldots,t_k$ временной последовательности. Число испытаний $K$ и число случайных величин распределения равно $k$ и каждая случайная величина $X_i$ принимает единичное значение $X_i=K_i=1$ , $i,\ldots k$.

Характеристики случайных величин второго варианта получения математического ожидании мультиномиального распределения:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=K_i=1)=[K_j=1, j=1,\ldots,K-i+1], \quad i=1,\ldots,k,$

вероятность

$P(t_i,X_i=K_i=1\mid t_{i-1},X_{i-1}=K_{i-1}=1)={K-i +1\choose K_i}p_i^{K_i}=\frac{K-i+1}{K},$

математическое ожидание

$E(t_i,X_i=K_i=1\mid t_{i-1},X_{i-1}=K_{i-1}=1)=\frac{K-i+1}{K},$

дисперсия

$D(t_i,X_i=n_i)=(K-i+1)p_iq_i=(K-i+1)\frac{K-1}{K^2}.$

Урновая модель второго варианта получения математического ожидания мультиномиального распределения содержит одну исходную урну и $k$ приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин мультиномиального распределения.

В начальный момент времени $t_0$ исходная урна содержит $K$ - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.

В первый момент времени $t_1$ из исходной урны, содержащей $K$ различимых неупорядоченных элементов, осуществляют первую выборку единичного объёма $K_1=1$ и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью $p_1=K^{-1}$.

Во второй момент времени $t_2$ из исходной урны, содержащей $K-1$ различимых неупорядоченных элементов осуществляют вторую выборку единичного объёма $K_2=1$ и направляют во вторую приёмную урну с вероятностью $p_2=K^{-1}$.

И так далее.

Наконец, в последний, $k$ - ый момент времени из исходной урны, содержащей $K-\ldots-K_{k-1}=1$ один элемент, направляют его в $k$ - ую приемную урну с вероятностью $p_k=K^{-1}$.

В результате исходная урна пуста, а все её $K$ элементов по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного $K$ - множества на $k$ - подмножеств выборками единичных объёмов все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попаданий $k$ выборок единичных объёмов (по одному произвольному элементу исходного $K$ - множества) в $k$ приёмных урн — математическое ожидание мультиномиального распределения.

Локальные экстремумы математического ожидания мультиномиального распределения

Мультиномиальное распределение в окрестности своего математического ожидания (таблица 2, строка 2) имеет локальные экстремумы и вероятности, и дисперсии.

Таблица 2 – Локальные экстремумы математического ожидания мультиномиального распределения

Значения восьми случайных величин								Вероятность	Дисперсия	Экстремумы
1	1	1	1	1	1	1	1	0.240×10-2	3.937	Математическое ожидание
2	1	1	1	1	1	1	0	0.120×10-2	3.172
2	2	1	1	1	1	0	0	0.600×10-3	2.625
2	2	2	1	1	0	0	0	0.300×10-3	2.297
2	2	2	2	0	0	0	0	0.150×10-3	2.187	1-й локальный минимум
3	1	1	1	1	1	0	0	0.400×10-3	2,516	1-й локальный максимум
3	2	1	1	1	0	0	0	0.200×10-3	2.078
3	2	2	1	0	0	0	0	0.100×10-3	1.859
3	3	2	1	0	0	0	0	0.334×10-4	1.641	2-й локальный минимум
4	1	1	1	1	0	0	0	0.100×10-3	1.969	2-й локальный максимум
4	2	1	1	0	0	0	0	0.500×10-4	1.641
4	2	2	0	0	0	0	0	0.250×10-4	1.531
4	2	2	0	0	0	0	0	0.250×10-4	1.531
4	3	1	0	0	0	0	0	0.167×10-5	1.422
4	4	0	0	0	0	0	0	0.417×10-5	1.312	3-й локальный минимум
5	1	1	1	0	0	0	0	0.200×10-4	1.531	3-й локальный максимум
5	2	1	0	0	0	0	0	0.100×10-4	1.312
5	3	0	0	0	0	0	0	0.334×10-5	1.203
6	1	1	0	0	0	0	0	0.334×10-5	1.203
6	2	0	0	0	0	0	0	0.167×10-5	1.094
7	1	0	0	0	0	0	0	0.477×10-6	0.984
8	0	0	0	0	0	0	0	0.596×10-7	0.875

Локальные максимумы и минимумы

Локальные максимумы (жирный шрифт) соответствуют таким числовым значениям случайных величин, когда одна из них имеет значение, отличное от единичного, а остальные принимают единичные значения. При этом, чем меньшее значение, отличное от единичного, принимает одна случайная величина и чем больше единичных значений принимают остальные случайные величины распределения, тем ближе локальный максимум к математическому ожиданию мультиномиального распределения. В пределе, когда все случайные величины принимают единичные значения (при условии $k=n$), имеет место математическое ожидание мультиномиального распределения. При математическом ожидании мультиномиального распределения максимальна и дисперсия мультиномиального распределения, а максимальная вероятность мультиномиального распределения численно равна математическому ожиданию мультиномиального распределения.

Локальные минимумы (наклонный шрифт), как правило, расположены между локальными максимумами и уменьшаются по мере удаления от математического ожидания мультиномиального распределения. Исключение составляют комбинации, предшествующие локальному максимуму и имеющие равные знаменатели мультиномиального коэффициента (строки 4 и 5 снизу: 5!3!=6!1!1! и 0!=1!=1).

Определение локальных экстремумов основано на вычислении вероятностей мультиномиального распределения. При этом все комбинации значений случайных величин равно возможны и вероятность каждой из них равна $n^{-n}$ . В частности, в таблице 2 $n=k=8$, $n^{-n}=8^{-8}$. Вероятность мультиномиального распределения, у которого, например, (таблица 2, 3-я строка сверху: 22111100) две случайные величины имеют числовые значения 2, четыре случайные величины имеют числовые значения 1 и две случайные величины имеют числовые значения 0 и которые могут быть расположены в произвольном порядке, определяется по формуле

$\frac{n!}{n_1!\cdots n_n!} n^{-n}=\frac{8!}{2!2!1!1!1!1!0!}8^{-8}=\frac{8!}{2!2!}8^{-8}=0,600x10^{-3}, \quad n_1+\ldots+n_n=n.$

Аналогично рассчитываются вероятности мультиномиального распределения для всех других комбинаций случайных величин.

Свойства дисперсии мультиномиального распределения

Дисперсия мультиномиального распределения:

1) это случайная величина;

2) равна сумме дисперсий случайных величин мультиномиального распределения

$D(X_1=n_1,\ldots, X_k=n_k)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i,$

поскольку случайные величины распределения определены на непересекающихся пространствах элементарных событий

$\sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1});$

3) увеличивается с ростом числа случайных величин мультиномиального распределения, а дисперсии случайных величин полиномиального распределения убывают с возрастанием своих порядковых номеров,

причём дисперсия первой случайной величины мультиномиального распределения совпадает с дисперсией первой случайной величины соответствующего биномиального распределения $D (X_1=n_1)=np_1q_1,\quad 0\le n_1\le n, \quad q_1=1-p_1;$

4) имеет множество значений из-за неоднозначности определения произведений $p_iq_i, \quad i=1,\ldots,k;$

5) максимальна при тех же условиях

$X_1=n_1=1,\ldots, X_n=n_n=1, \quad k=n,$

при которых максимальны одновременно и вероятность, и математическое ожидание мультиномиального распределения.

Максимальная дисперсия мультиномиального распределения

$D(X_1=n_1,\ldots, X_k=n_k)_{max}=D(X_1=n_1=1,\ldots, X_n=n_n=1)=\frac{n^2-1}{2n}:$

1) с возрастанием числа случайных величин распределения стремится к бесконечности, приближаясь к линейной зависимости $\frac{1}{2}n;$

2) в $\frac{2(n^2-1)}{3n}$ раз превышает максимальную дисперсию соответствующего биномиального распределения $D(X_1=n_1,X_2=n_2 )_{max}=\left(\sum_{i-1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i \right)_{max}=\frac{3}{4}.$

Мультиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Мультиномиальное распределение это:

• случайный процесс безвозвратного разделения во времени $t_1,\ldots, t_k, \quad 2\le k\le n$ и в пространстве конечного $n$- множества различимых неупорядоченных элементов ($2\le n<\infty$),

• разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),

• сумма объёмов всех выборок равна объёму исходного множества $\sum_{i=1}^k n_i=n$, при этом только одна из выборок может иметь случайный объём в пределах всего объёма исходного множества $0\le n_i\le n$,

• вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств $0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n$ принимают за вероятность события с положительным исходом соответствующего распределения Бернулли ,

• эти вероятности неизменны в процессе разбиения множества и пронормированы $\sum_{i=1}^kp_i=1$ согласно аксиоматике Колмогорова,

• очерёдность следования выборок принимают за нумерацию случайных величин $X_1,\ldots,X_k$ мультиномиального распределения,

• случайный объём каждой выборки $n_i, \quad i=1,\ldots, k\le n$ в момент времени $t_i$ принимают за числовое значение соответствующей случайной величины $X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}$ мультиномиального распределения при условии, что в предшествующий момент времени $t_{i-1}$ предшествующая случайная величина $X_{i-1}$ приняла числовое значение $n_{i-1}$,

• результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин мультиномиального распределения,

• минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и мультиномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия,

• математическое ожидание мультиномиального распределения имеет место, когда число выборок $k$ равно числу элементов $n$-множества $k=n$ и численно равно $\frac{n!}{n^n}, \quad 2\le n, <\infty$, откуда $n=2, \quad \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2}$ - математическое ожидание биномиального распределения.

Мультиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случай

Мультиномиальное распределение появляется в последовательности зависимых случайных испытаний с конечным или счётным числом исходов. По сути — это цепь Маркова, где $X_{i+1}$-ая случайная величина зависима от предшествующей $X_i$-ой случайной величины

$t_{i+1}>t_i,X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i<t_{i+1}, X_i=n_i,\quad i=1,\ldots,k \le n$

следующим образом: $X_{i+1}$-ая случайная величина в $t_{i+1}$-ый момент времени принимает числовое значение, равное $n_{i+1}$, при условии, что в $t_i$-ый момент времени $X_i$-ая случайная величина приняла числовое значение, равное $n_i$. Случайные величины следуют одна за другой в порядке возрастания своих номеров.

$X_0$, называемое начальным распределением цепи Маркова, для мультиномиального распределения не имеет смысла $t_0=0, \quad X_0=0$, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: $t_1, X_1,\ldots, t_k, X_k$.

Переходная вероятность мультиномиального распределения

$P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),\quad 0\le n_i\le n< \infty$

является дискретной функцией времени. Следовательно, и мультиномиальное распределение

$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

как произведение его случайных величин, является дискретной функцией времени, иными словами, мультиномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сумма всех вероятностей мультиномиального распределения равна единице. Следовательно, мультиномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Однако в отличие от марковских цепей и марковских процессов мультиномиальное распределение не обладает свойством отсутствия последействия, согласно которому для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него).

Причина заключается в том, что в мультиномиальном распределении имеется ещё одна зависимость — каждая случайная величина (кроме первой) зависима от всех ей предшествующих случайных величин.

Зависимость проявляется в том, что предшествующая случайная величина ($X_i$) мультиномиального распределения в соответствующий момент времени ( $t_i$) сокращает на своё числовое значение ($n_i$) верхнюю границу пространства элементарных событий следующей за ней случайной величины ($X_{i+1}$):

$\Omega_{i+1}(t_{i+1}, X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i,X_i=n_i)=[0 \le n_{i+1} \le n-\ldots-n_i],$

$i=1,\ldots,k \le n.$

Как следствие, все предшествующие случайные величины (если их числовые значения отличны от нуля) поочерёдно в соответствующие моменты времени сокращают на свои числовые значения верхнюю границу пространства элементарных событий последней случайной величины.

В частном случае, когда $k=2$, имеет место биномиального распределения интерпретации 21-го века.

С точки зрения цепей Маркова — биномиальное распределение интерпретации 21-го века — это простейший марковский процесс с дискретным временем, в котором:

вторая случайная величина зависима от первой (и только от неё)

$t_2>t_i,X_2=n_2 \mid t_i<t_2, X_1=n_1, \quad n_1+n_2=1;$

всего лишь одна переходная вероятность

$P(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1);$

процесс стахостический, поскольку сумма вероятностей равна единице $p_1+p_2=1$;

как и в мультиномиальном распределении, ее начальное состояние цепи Маркова $X_0$, для биномиального распределения не имеет смысла $t_0=0, \quad X_0=0$, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: $t_1, X_1, \quad t_2, X_2$.

Сравнительная оценка характеристик мультиномиальных распределений настоящей и традиционной интерпретаций

Цель сравнительной оценки показать, что мультиномиальное распределение настоящей интерпретации (таблица 1) соответствует, а мультиномиальное распределение традиционной интерпретации (таблица 3) не соответствует современным требованиям аксиоматики Колмогорова. Сравнение выполнено на основе минимально необходимого набора параметров, который для каждого распределения и каждой его случайной величины включает в себя четыре параметра: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсию.

Таблица 3 – Характеристики минимально необходимого набора параметров мультиномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века

Характеристики	распределения	$X_i$-ой случайной величины распределения
Пространство элементарных событий	Произвольная последовательность $n$ независимых испытаний с несколькими $k$ взаимоисключающими исходами каждый	Произвольная последовательность $n$ независимых испытаний с несколькими $k$ взаимоисключающими исходами каждый
Вероятность	$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=$$=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$	$P(X_i=n_i)={n\choose n_i} p_i^{n_i}q_i^{n-n_i}$
Математическое ожидание	не определено	$np_i, \quad q_i=1-p_i$
Дисперсия	не определена	$np_iq_i$

Мультиномиальное распределение настоящей интерпретации

Пространство элементарных событий распределения это совокупность пространств элементарных событий его случайных величин, представленных в виде дискретной временной последовательности $i=1,\ldots,k$ точек, нумерация по возрастанию которых соответствует нумерации случайных величин распределения $X_1,\ldots,X_k$.

Вероятность распределения это произведение вероятностей зависимых его случайных величин. Зависимость заключается в том, что каждая предшествующая случайная величина распределения сокращает пространство элементарных событий последующей случайной величины на своё числовое значение.

Математическое ожидание распределения с ростом числа испытаний и числа случайных величин стремительно убывает к нулю от максимального значения, равного $0,5,\quad k=n=2$ (случай биномиального распределения настоящей интерпретации).

Дисперсия распределения равна сумме дисперсий случайных величин на том основании, что все случайные величины распределения определены на непересекающихся пространствах элементарных событий.

Все характеристики мультиномиального распределения интерпретации соответствуют требованиям аксиоматики Колмогорова.

Мультиномиальное распределение традиционной интерпретации

Пространство элементарных событий едино и для распределения и для каждой его случайных величин это произвольная последовательность $n$ независимых испытаний с $k$ взаимоисключающими исходами каждый, $k\le n<\infty$.

Вероятность распределения – произведение вероятностей независимых случайных величин.

Математическое ожидание распределения до сих пор не определено и в принципе не будет определено, если принимать случайные величины распределения за независимые (см. доказательство теоремы 1). По этим причинам математические ожидания и дисперсии случайных величин определены не верно.

Дисперсия распределения до сих пор тоже не определена, но по неизвестным причинам. Но если бы и была определена, то была бы ложной из-за принятия независимости случайных величин.

Таким образом, в мультлиномиальном распределении традиционной интерпретации:

ни одна характеристика из минимально необходимого набора за исключением вероятности распределения (и то верен лишь конечный результат) определена не верно;

математическое ожидание $np_i$ каждой случайной величины $X_i$ при условии $n>p_i^{-1}$ оказывается больше единицы, что противоречит аксиоматики Колмогорова;

математическое ожидание распределения $E(X_1=n_1\cdots X_k=n_k)=np_1\cdots np_k=n^kp_1\cdots p_k$ при неограниченном возрастании числа $n$ независимых экспериментов стремится к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, согласно аксиоматике Колмогорова обязана быть равной единице (см. теорему 1).

Погрешности традиционной интерпретации

Относительные погрешности традиционной интерпретации параметров мультиномиального распределения по сравнению с настоящей интерпретацией содержат три уровня , :

низший (элементный) уровень — погрешности случайных величин мультиномиального распределения (вероятности, математические ожидания и дисперсии);

средний (функциональный) уровень — погрешности самого мультиномиального распределения (математические ожидания и дисперсии. Погрешность вероятности мультиномиального распределения отсутствует, поскольку в обеих его интерпретациях правые части формул полностью совпадают).

На этих двух уровнях погрешности вычисляются аналогично;

высший (системный или пользовательский) уровень —погрешности, связанные с использованием мультиномиального распределения в прикладных задачах (в частности, $\chi^2$ - критерий).

Низший (элементный) уровень

Погрешность $\Delta$ вероятности $P(X_{i})\quad i$ - ой случайной величины $X_i$ мультиномиального распределения традиционной интерпретации относительно её настоящей интерпретации

$\Delta{P(X_i)}= \frac{P(X_i=n_i)-P(X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1})}{ P(X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1})}=$

$=\frac{n!(n-\ldots-n_i)!}{(n-n_i)!(n-\ldots-n_{i-1})!}q_i^{n-n_i}-1$

предельно отрицательная при достоверном событии ($p_i=1, q_i=0$)

$\Delta{P(X_i)}= -1$

и положительная при недостоверном событии ($p_i=0, q_i=1$)

$\Delta{P(X_i)}= \frac{n!(n-\ldots-n_i)!}{(n-n_i)!(n-\ldots-n_{i-1})!}-1.$

Точка перехода от отрицательных значений к положительным значениям погрешностей определяется равенством

$q_i(\Delta{P=0})=\sqrt[n-n_i]\frac{(n-n_i)!}{ n_in!}.$

Отрицательные погрешности не могут превышать 100%, а положительные — могут принимать сотни и тысячи процентов. Исключение составляет погрешность первой случайной величины. Её погрешность монотонно убывает от максимального отрицательного значения (-98%) при $n_i=0$ до нуля при $n_i=n$. Каждая последующая случайная величина имеет больше возможностей для изменения знака и числового значения своей погрешности. Погрешность последней случайной величины не зависит от очередности принятия конкретных значений всеми предшествующими ей случайными величинами. Если одна из случайных величин примет максимальное значение $n_i=n$, то у нее погрешность отсутствует, а у всех остальных случайных величин будут нулевые числовые значения и максимально отрицательные погрешности (см. таблицу 4).

Таблица 4 - Погрешности вероятностей случайных величин $\Delta(P_i)$ (в процентах), гипотезы $\Delta(H_0)$ и уровня значимости $\Delta(\alpha)\quad \chi^2$ критерия мультиномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века

Первая случайная величина $X_1=n_1$			Вторая случайная величина $X_2=n_2$			Третья случайная величина $X_3=n_3$			$\chi^2$ критерий
$n_1$	$\Delta(P_1)$	Точка перехода	$n_2$	$\Delta(P_2)$	Точка перехода	$n_3$	$\Delta(P_3)$	Точка перехода	$\Delta(H_0)$	$\Delta(\alpha)$
$0$	$-98,27$	$1,00$	$1$	$-97,40$	$1,00$	$9$	$+233,33$	$0,10$	$-27,95$	$-15,61$
$0$	$-98,27$	$1,00$	$9$	$-33,33$	$1,00$	$1$	$-73,98$	$1,00$	$+22,50$	$-15,61$
$9$	$-33,33$	$1,00$	$1$	$-73,99$	$0,77$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$(0/0)-1$	$-15,61$
$1$	$-97,40$	$1,00$	$4$	$-85,37$	$0,92$	$5$	$+3218,52$	$0,33$	$-147,50$	$-75,54$
$5$	$-86,83$	$1,00$	$4$	$+267,24$	$0,54$	$1$	$-73,99$	$0,77$	$-73,42$	$-74,26$
$4$	$-91,22$	$1,00$	$5$	$+453,09$	$0,47$	$1$	$-73,99$	$0,77$	$-58,98$	$-56,52$
$2$	$-96,09$	$1,00$	$2$	$-93,73$	$0,94$	$6$	$+4048,15$	$0,26$	$+146,67$	$-70,09$
$2$	$-96,09$	$1,00$	$6$	$+48,15$	$0,60$	$2$	$+75,58$	$0,62$	$-128,80$	$-68,32$
$6$	$-80,25$	$1,00$	$2$	$-70,74$	$0,77$	$2$	$+75,58$	$0,62$	$-20,00$	$-67,35$
$3$	$-94,17$	$1,00$	$3$	$-79,33$	$0,84$	$4$	$+1743,62$	$0,41$	$-180,00$	$-59,79$
$3$	$-94,17$	$1,00$	$4$	$-47,32$	$0,74$	$3$	$+602,33$	$0,50$	$-187,97$	$-97,66$
$4$	$-91,22$	$1,00$	$3$	$-94,48$	$0,77$	$3$	$+603,33$	$0,50$	$-190,00$	$-94,97$
$7$	$-70,37$	$1,00$	$3$	$+602,23$	$0,50$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$(0/0)-1$	$-52,55$
$7$	$-70,37$	$1,00$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$3$	$+602,23$	$0,50$	$+134,17$	$-52,55$
$0$	$-98,27$	$1,00$	$3$	$-94,15$	$1,00$	$7$	$+3455,55$	$0,20$	$-56,79$	$-52,55$
$8$	$-55,56$	$1,00$	$1$	$-86,99$	$0,84$	$1$	$-73,99$	$0,77$	$+902,50$	$-34,31$
$1$	$-97,40$	$1,00$	$8$	$+122,22$	$0,45$	$1$	$-73,99$	$0,77$	$+0,90$	$-38,50$
$1$	$-97,40$	$1,00$	$1$	$-97,11$	$0,99$	$8$	$+1900,00$	$0,15$	$-16,25$	$-38,50$
$10$	$0,00$	$1,00$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$(0/0)-1$	$0,00$
$0$	$-98,27$	$1,00$	$10$	$0,00$	$1,00$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$(0/0)-1$	$0,00$
$0$	$-98,27$	$1,00$	$0$	$-98,27$	$1,00$	$10$	$0,00$	$1,00$	$0,00$	$0,00$

В точке математического ожидания мультиномиального распределения вероятности первой и $i$-ой случайных имеют вид

$P(X_1=n_1=1)={n\choose1}n^{-1}, \quad P(X_i=n_i=1 \mid X_{i-1}=1)={n-i+1\choose1}n^{-1}.$

Погрешность вероятности $i$-ой случайной величины в точке математического ожидания распределения

$\Delta P(X_i)=\frac{n!(n-i)!}{(n-1)!(n-i+1)!}, \quad i=1,\ldots,n$

увеличивается с возрастанием её номера, достигая максимума у последней случайной величины

$\Delta P(X_i)_{max}=\Delta P(X_n=n_n=1 \mid X_{n-1}=n_{n-1}=1)=\frac{n!0!}{(n-1)!1!}=n-1.$

Аналогично определяются погрешности математического ожидания $\Delta(EX_i)$ и дисперсии $\Delta(DX_i)$ случайной величины $X_i, \quad i=1,\ldots,k\le n$

$\Delta(EX_i)=\Delta(DX_i)=\frac{n}{n-\ldots-n_{i-1}}-1.$

Погрешности математического ожидания и дисперсии отсутствуют только у первой случайной величины и достигают максимального значения у последней $\Delta(EX_k)=\Delta(DX_k)=n-1$. В точке математического ожидания мультиномиального распределения характер изменения погрешностей прежний

$\Delta_{M.O.}(EX_i)=\Delta_{M.O.}(DX_i)=\frac{n-1}{n-i+1}, \quad i=1,\ldots,n.$

Средний (функциональный) уровень

В традиционной интерпретации мультиномиального распределения его математическое ожидание и дисперсия имеют независимые составляющие, на основании чего за математическое ожидание и дисперсию распределения соответственно примем произведение этих составляющих

$E(X_1\cdots X_k)=n^kp_1\cdots p_k,$

$D(X_1,\ldots, X_k)=n^k(p_1q_1+\ldots+p_kq_k).$

Относительные погрешности математического ожидания $\Delta E(X_1\cdots X_k)$ и дисперсии $\Delta D(X_1,\ldots,X_k)$ распределения на функциональном уровне будут

$\Delta E(X_1\cdots X_k)=\frac{n^n}{n!}-1,$

$\Delta D(X_1\ldots X_k)=\frac{2^n}{n=1}-1.$

Расчёты погрешностей (таблица 5) для числа $k$, равного $n$, случайных величин мультиномиального распределения: 2 ($k=n=2$ - случай биномиального распределения), 5, 10 и 20.

Таблица 5 - Относительные погрешности (в процентах) математических ожиданий и дисперсий случайных величин (первая строка формул и результатов) и математического ожидания и дисперсии мультиномиального распределения (вторая и третья строки)

Погрешности математических ожиданий и дисперсий	Число случайных величин
$k=n$ - число случайных величин равно числу испытаний	2	5	10	20
$\Delta _{M.O.}E(X_{i})=\Delta _{M.O.}D(X_{i})={\frac {i-1}{n-i+1}},\quad i=1,\ldots ,n$	10 2	4.0×102	9.0×102	1.9×103
$\Delta E(X_1\cdots X_k)=\frac{n^n}{n!}-1, \quad 2\le k=n<\infty$	10 2	2.5×102	2.7 ×105	4.3×1010
$\Delta D(X_1\ldots X_k)=\frac{2^n}{n+1}-1$	10 2	10 5	9.0×1010	4.9×1026

Высший (системный или пользовательский) уровень

$\chi^2$ - критерий относится к непараметрическим критериям математической статистики и был предложен К. Пирсоном в 1903 г. для проверки гипотезы, согласно которой случайный вектор частот имеет независимые компоненты со средними значениями $np_i^{(0)}$ и заданное мультиномиальное распределение традиционной интерпретации.

Замена опытных данных $np_i^{(0)}$ мультиномиального распределения традиционной интерпретации средними значениями $(n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}$ мультиномиального распределения настоящей интерпретации позволяет непосредственно использовать критерий для оценки погрешностей принятия мультиномиального распределения традиционной интерпретации за распределение независимых случайных величин.

В результате возникли две погрешности: погрешность гипотезы $\Delta(H_0)$ и погрешность уровня значимости $\Delta(\alpha)$, причем уровень значимости должен быть в пределах $0<\alpha<0,5$.

В $\chi^2$ - критерии отсутствуют погрешности, когда погрешность гипотезы и погрешность уровня значимости одновременно равны нулю. Теоретически это возможно в двух случаях: когда значения всех случайных величин за исключением последней равны нулю (последняя строка таблицы 4; в биномиальных распределениях с независимыми характеристиками случайных величин. Однако такие распределения не соответствуют требованиям аксиоматики Колмогорова.

Погрешности гипотезы и уровня значимости возрастают по мере уменьшения различия числовых значений случайных величин. При этом каждый раз, когда последняя случайная величина распределения принимает нелевое значение, у погрешности гипотезы возникает неопределённость типа $(0/0)-1$. Погрешность уровня значимости, оставаясь отрицательной, почти вдвое может превышать допустимый уровень значимости.

Таким образом, погрешности существующих парадигм распределений составляют сотню (для биномиального распределения традиционной интерпретации), тысячи и миллионы процентов (для мультиномиального распределения традиционной интерпретации).

Существует три объективных и четыре субъективных причин возникновения погрешностей

Связь с другими распределениями

Если $p_1=\ldots=p_k$, то получаем мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Если $p_1=\dots p_k$ и все случайные величины распределения считались независмыми, то в 20-ом веке имели место следующие названия: распределение Максвелла - Больцмана , статистика Максвелла - Больцмана , распределение Больцмана , статистика Больцмана .

Если $k=2$ и $p_1\ne p_2$, то получаем биномиальное распределение настоящей интерпретации 21-го века.

Если $k=2$ и $p_1 = p_2$, то получаем биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

См. также

• Парадоксы биномиального распределения
• Распределение биномиальной выборки
• Биномиальное распределение одной случайной величины
• Биномиальное распределение Буняковского
• Биномиальное распределение двух случайных величин
• Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
• Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств
• Парадоксы мультиномиального распределения
• Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
• Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
• Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
• Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

Литература

Эта статья содержит материал из статьи Мультиномиальное распределение русской Википедии.