Для любой функции, определённой на множестве E, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности тоже функция, по определению равная:

,

или верхнюю грань колебаний функции по всем подотрезкам из E длиной меньше δ. Также в литературе встречаются другие обозначения и (реже) .

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

  • При любом δ она неотрицательна (очевидно);
  • Функция не убывает (также очевидно);
  • Функция полуаддитивна: .
    Докажем:
    .
    Тогда:
    |f(x1)-f(x2)| = |f(x1)-f(x')+f(x')-f(x2)||f(x1)-f(x')|+|f(x')-f(x2)|, ч. т. д.
  • В точке 0 доопределим модуль непрерывности: .
  • Если функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, то (данный предел обозначается также ), и наоборот.
    • Пусть =0; мы знаем, что функция неотрицательна, а значит,

      при любых x1 и x2 из [a, b] таких, что расстояние между ними меньше δ. Если мы зафиксируем x1, а x2 будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности x1, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке x1, а поскольку вместо x1 мы можем взять любую точку отрезка, получим, что f(x) непрерывна на нём.
      Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора-Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:
.
Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,
.
Но, как мы только что показали, :|f(x1)-f(x2)|<, а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна и уж точно меньше . Но, поскольку не убывает, при 0<δ'<δ получим неравенство
, или , что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.
  • Если f(x) непрерывна на [a, b], то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0, b-a].
    Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число h и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство: . При устремлении h к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по 'теореме о двух милиционерах', и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках [a, b]. Теперь, подставив в неравенство δ1=δ-h, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность на всём отрезке.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции .

.

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка , то получим определение модуля непрерывности порядка . Обычное обозначение для таких модулей — .

Свойства

  1. Если — целое число, то

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берется этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берется разностный оператор также зависить от точки. Подобные "неклассические" модули непрерывности находят свое применение в различных областях современной математики.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.