Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается или иногда (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение .

Определение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .

Основные формулы для математического ожидания

.

Математическое ожидание дискретного распределения

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть - случайный вектор. Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если имеет дискретное распределение;

,

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

.

В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание линейно, то есть
            ,
    где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если почти наверное, и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
    ;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то
    .
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
    .

Дополнительные свойства математического ожидания

Примеры

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

.
,

то есть математическое ожидание не определено.

См. также



Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.