ФЭНДОМ


Файл:Linear functions2.PNG

Линейная функцияфункция вида

$ f(x) =kx+b. $

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является формальным выражением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией.

Свойства Править

  • $ k $ является тангенсом угла, под которым прямая пересекает ось абсцисс.
  • При $ k>0 $, прямая образует острый угол с осью абсцисс.
  • При $ k<0 $, прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
  • При $ k=0 $, прямая параллельна оси абсцисс
  • $ b $ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
  • При $ b=0 $, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных Править

Линейная функция $ n $ переменных $ x=(x_1,x_2,..,x_n) $ — функция вида

$ f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n $

где $ a_0,a_1,a_2,\dots,a_n $ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $ n $-мерное пространство переменных $ x_1,x_2,..,x_n $ вещественных или комплексных. При $ a_0=0 $ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $ x_1,x_2,..,x_n $ и коэффициенты $ a_0,a_1,a_2,\dots,a_n $ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $ (n+1) $-мерном пространстве переменных $ x_1,x_2,..,x_n, y $ является $ n $-мерная гиперплоскость

$ y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n $

в частности при $ n=1 $ — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра Править

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $ X $ над некоторым полем $ k $ в это поле, то есть для такого отображения $ f: X\to k $, что для любых элементов $ x,y\in X $ и любых $ \alpha,\beta\in k $ справедливо равенство

$ f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y) $

причем в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины — линейный функционал и линейная форма.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.