Лемма о вложенных отрезках в математическом анализе — это фундаментальное утверждение, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Формулировка

Пусть дана последовательность вложенных отрезков то есть Тогда

  1. найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть
  2. если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:

Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

Доказательство

Из определения о вложенных отрезках.

, что для любого , следовательно существует

, что для любого , и существует


Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке и равны. Из этого следует,


Как нам известно ,   , е7е 

Что и требовалось доказать.


Шаблон:Нет интервики

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.