Лемма Фату

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей.

Формулировка из функционального анализа

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X, \mathcal{F}, \mu)$. Предположим, что $\{ f_n \}_{n=1}^\infty$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций на $X$. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

$\int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx)$.

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин $\{ X_n \}_{n=1}^\infty$. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

$\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.$

Эта статья содержит материал из статьи Лемма Фату русской Википедии.