надо добавить и согласовать - это первый семестр

  • Множества и операции над ними. Отношения на множествах.
  • Определение функции и простейшие свойства их.
  • Понятие мощности, свойства счётных множеств.
  • Существование несчётных множеств, континуум.
  • Теорема Кантора-Бернштейна.
  • Мощность множества рациональных чисел и отрезка вещественной прямой.
  • Полная упорядоченность множества натуральных чисел и принцип математической индукции.
  • Определение поля. Примеры.
  • Определение упорядоченного поля. Точные грани множеств.
  • Полное поле. Неполнота поля рациональных чисел.
  • Вещественные числа, как бесконечные дроби.
  • k-ичное разложение рациональных и вещественных чисел.
  • Аксиома Архимеда. Архимедоввыа
  • Плотность Q в R.
  • Формулировка принципов полноты.
  • Открытые и замкнутые множества в R, их свойства.
  • Предел последовательности, предел функции в точке.
  • Теоремы единственности и ограниченности.
  • Теоремы о пределе суммы, произведения, частного.
  • Предельный переход в неравенстве.
  • Признаки существования предела.
  • Первый замечательный предел lim(sin(x)/x)=1. Число е.
  • Критерий существования предела функции в точке (через односторонние пределы). Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.
  • Теорема о пределе сложной функции.
  • Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
  • Понятие секвенциальной компактности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
  • Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.
  • Фундаментальные последовательности Коши и их свойства.
  • Асимптотическое поведение функций. Свойства O(f(x)), o(f(x)), ~.
  • Непрерывность функции в точке, связь с пределами.
  • Классификация точек разрыва.
  • Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра.
  • Локальные свойства непрерывных функций: сохранение знака, суммы, произведения, частные и композиции непрерывных функций.
  • Глобальные свойства непрерывных функций: прообразы и образы открытых и замкнутых множеств.
  • Теорема Больцано о промежуточных значениях непрерывной функции и о сохранении связности при непрерывном отображении.
  • Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении sup, inf непрерывной на отрезке функции.
  • Критерий непрерывности монотонной функции.
  • Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.
  • Теорема о гомеоморфизме.
  • Определение и свойства функций a^x и log_a(x), a\in R.
  • Определение и свойства функции x^a:R\to R, a\in R
  • Второй замечательный предел lim(1+x)^{1/x}=e.
  • Свойства тригонометрических функций и обратных к ним.
  • Дифференцируемость функции в точке, производная, односторонние производные, касательная к графику функции.
  • Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, композиции непрерывных функций и обратной функции.
  • Производные элементарных функций.
  • Свойства производных высших порядков. Правило Лейбница.
  • Теоремы Ферма, Ролля и формула Лагранжа конечных приращений.
  • Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
  • Теорема единственности полинома Тейлора.
  • Многочлены Тейлора элементарных функций.
  • Теорема Коши о конечных приращениях. Правила Лопиталя.
  • Критерии монотонности и строгой монотонности функции.
  • Достаточные признаки локального экстремума.
  • Достаточные условия выпуклости и точек перегиба функции.

второй семестр

  • Первообразная и неопределенный интеграл, и их свойства.
  • Правило Остроградского интегрирования рациональных функций.
  • Определенный интеграл Римана, его единственность.
  • Небходимое условие интегрируемости по Риману.
  • Суммы Дарбу и формулы Дарбу.
  • Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.
  • Числовые множества нулевой длины и нулевой меры. Их свойства.
  • Множество Кантора и его свойства.
  • Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
  • Длина и мера подмножеств R. Множества, измеримые по Жордану.
  • Свойства интеграла Римана.
  • Непрерывность интеграла Римана, как функции верхнего предела.
  • Дифференцируемость интеграла Римана, как функции верхнего предела.
  • Первая и вторая интегральные теоремы о среднем.
  • Приложения определенного интеграла Римана.
  • Топологические, нормированные и метрические пространства:
  • определения и примеры. Метрики в R^n.
  • Вариация вектор-функций. Теорема Жордана о функциях ограниченной вариации.
  • Пути и кривые в R^n, длина кривой, касательная к кривой.
  • Полные метрические пространства, полнота R^n.
  • Свойства непрерывных отображений метрических пространств.
  • Свойства компактных и секвенциально-компактных подмножеств метрических пространств.
  • Критерий компактности в R^n.
  • Связные подмножества топологических пространств. Сохранение связности при непрерывных отображениях. Теорема Больцано.
  • Выпуклые и линейно-связные подмножества в R^n.
  • Частные производные и теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных.
  • Дифференцируемость функций многих переменных, дифференциал dF(x) отображения F:R^n --> R^m и его свойства. Матрица Якоби .
  • Достаточное условие дифференцируемости в точке.
  • Теорема о дифференциале сложной функции и ``цепное правило вычисления частных производных.
  • Теорема о дифференциале обратной функции.
  • Формула Тейлора для гладких числовых функций многих переменных.
  • Второй дифференциал числовой функции многих переменных.
  • Локальный экстремум числовой функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума в точке.
  • Формулировки теоремы о локальном диффеоморфизме и теоремы о неявной функции и ее дифференциале.
  • Касательная плоскость к поверхностям в R^n, определение и способы задания.
  • Гладкие многообразия в R^n, неособые многообразия, примеры.
  • Условный локальный экстремум числовой функции многих переменных, примеры. «Правило множителей» Лагранжа.
  • Достаточный признак условного локального экстремума числовой функции многих переменных.
  • Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости числовых функций многих переменных.

третий семестр

  • Определение числовых рядов, произведений, несобственных интегралов и их сходимости. Их свойства.
  • Критерий Коши сходимости рядов, произведений, несобственных интегралов.
  • Критерий сходимости знакоположительных рядов и несобственных интегралов, теорема сравнения.
  • Признак д'Аламбера и радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.
  • Интегральный признак сходимости знакоположительного ряда.
  • Признак Раабе сходимости знакоположительного ряда.
  • Критерий и достаточное условие сходимости бесконечного произведения.
  • Критерий Лейбница сходимости знакочередующегося ряда и оценка остатка такого ряда.
  • Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
  • Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда.
  • Свойства условно сходящихся рядов.
  • Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.
  • Теоремы о замене переменных и об интегрировании по частям в несобственном интеграле.
  • Абсолютно и условносходящиеся несобстенные интегралы: пример - интеграл Дирихле.
  • Определения поточечной, равномерной, неравномерной сходимости функциональных последовательностей, рядов и несобственных интегралов, зависящих от параметра.
  • Примеры неравномерно сходящихся функциональных последовательностей, рядов, несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Непрерывность интеграла Римана зависящего от параметра.
  • Дифференцируемость интеграла Римана зависящего от параметра.
  • Интегрирование интеграла Римана зависящего от параметра.
  • Критерий Коши равномерной сходимости.
  • Критерий Гейне равномерной сходимости.
  • Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
  • Теорема Дини о достаточном условии равномерной сходимости.
  • Признак Дирихле равномерной сходимости.
  • Признак Абеля равномерной сходимости.
  • Теорема о предельном переходе в равномерно сходящейся функциональной последовательности и ее следствия.
  • Теорема о полноте С(К) в метрике Чебышева.
  • Теорема о непрерывности равномерно сходящихся несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Интегрирование по Риману равномерного предела функциональных последовательностей и рядов.
  • Интегрирование по конечному отрезку равномерно сходящихся несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Интегрирование функциональных последовательностей и рядов по бесконечному промежутку.
  • Теорема о перестановке порядка интегрирования в несобственном интеграле.
  • Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
  • Дифференцирование несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Интеграл Дирихле.
  • Интеграл Пуассона.
  • Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей.
  • Предкомпактность и ее критерий в полном метрическом пространстве.
  • Критерий Арцела-Асколи предкомпактности в С(К).
  • Теорема Абеля для степенных рядов, радиус сходимости степенного ряда.
  • Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
  • Свойства степенных рядов внутри области сходимости: единственность, равномерная сходимость, непрерывность, дифференцируемость интегрируемость.
  • Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры.
  • Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
  • Г-функция Эйлера и ее свойства.
  • B-функция Эйлера и ее свойства.
  • Ортогональные системы функций. Примеры: система Лежандра и тригонометрическая система.
  • Ортонормированная система функций. Ряды Фурье и их сходимость.
  • Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
  • Свойства рядов Фурье.
  • Теорема Фишера-Риса.
  • Свойства замкнутых ортонормированных систем функций.
  • Разложимость непрерывно-дифференцируемых периодических функций в равномерно сходящийся ряд по тригонометрической системе.

четвёртый семестр

  • Определение интеграла Римана на n-мерном брусе. Необходимое условие интегрируемости.
  • Нижние и верхние интегральные суммы Дарбу, их свойства.
  • Нижний и верхний интегралы Дарбу. Теорема Дарбу.
  • Критерий Дарбу интегрируемости на n-мерном брусе.
  • Множество лебеговой меры нуль в . Критерий Лебега интегрируемости на n-мерном брусе.
  • Мера Жордана(объем) множества. Измеримые по Жордану множества.
  • Определение интеграла Римана на измеримом по Жордану множестве.
  • Критерий Лебега интегрируемости на измеримом по Жордану множестве.
  • Основные свойства интеграла.
  • Интеграл от неотрицательной функции.
  • Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини.
  • Формулы для вычисления объемов измеримых по Жордану множеств.
  • Измеримые множества и гладкие отображения.
  • Замена переменных в кратном интеграле: одномерный случай.
  • Замена переменных в кратном интеграле: случай простейшего диффеоморфизма в .
  • Композиция отображений и формула замены переменных.
  • Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
  • Формула замены переменных в кратном интеграле в общем случае.
  • Замена переменных при отображениях измеримых множеств.
  • Инвариантность интеграла. Инвариантность меры Жордана.
  • Пренебрежимые множества. Формула замены переменных.
  • Определение несобственного кратного интеграла.
  • Мажорантный признак сходимости несобственного кратного интеграла.
  • Криволинейный интеграл 1-го рода, основные свойства.
  • Ориентация кусочно-гладкой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода, основные свойства.
  • Формула Грина.
  • Площадь поверхности и ее вычисление.
  • Поверхностный интеграл 1-го рода, основные свойства.
  • Ориентация кусочно-гладкой поверхности. Поверхностный интеграл 2-го рода, основные свойства.
  • Формула Остроградского.
  • Формула Стокса.
  • Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор, их инвариантность.
  • Основные интегральные формулы анализа в векторной трактовке.
  • Геометрический смысл дивергенции и ротора.
  • Соленоидальные векторные поля.
  • Потенциальные векторные поля. Условие потенциальности поля в односвязной области.

Литература

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учеб.:В 2 ч.М.: Наука, 1982. 2ч.
  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб. М.: Наука, 1979. 719 с.
  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб.:В 2 ч. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985-1987. 2 ч.
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб.: В 2 т.М.: Наука, 1981. 2 т.
  • Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.:В 2 т.М.: Наука, 1983. 2 т.
  • Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 736 с.
  • Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб. М.: Наука, 1979. 319 с.
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учеб. М.: Наука, 1981. 542 с.
  • Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб.пособие.М.: Наука, 1974. 480 с.
  • Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. М.:: Наука, 1979. 527 с.
  • Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие: В 2 ч. М.: Наука, 1984-1986. 2 ч.
  • Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.:В 4 т. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.
  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб.пособие: В 3 т. М.: Наука, 1969-1970. 3 т.
  • Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
  • Камынин Л.И. Курс математического анализа, том 1-2, М, МГУ, 1993.



Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.