Файл:Tangent to a curve.svg

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я в математическом анализе — прямая, проходящая через точку графика функции и имеющая такой же наклон.

Определение

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол наклона касательной прямой удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс.

Касательная как предельное положение секущей

Файл:Derivative.gif

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки и задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку для любого и её угол наклона удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции в точке переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

Односторонние полукасательные

  • Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч
  • Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч
  • Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч

См. также

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.