Математика
Advertisement

Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка удалим среднюю треть, т. е. интервал Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя среднюю треть у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем . Обозначим через пересечение всех . Множество называется Канторовым множеством.

Cantor set, in seven iterations
Множества

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить что число принадлежит Канторовому множеству если у него есть одно такое представление, например так как .

Как аттрактор

Рассмотрим все последовательности точек такие что для любого n,

или .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.

Свойства

  • Канторово множество замкнуто.
  • Канторово множество континуально. В частности,
  • Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
  • Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную . В частности,

См. также

Шаблон:Link FA

ca:Conjunt de Cantor cs:Cantorovo diskontinuum eo:Aro de Kantor he:קבוצת קנטור hr:Cantorov skup nl:Cantorverzameling pl:Zbiór Cantora sl:Cantorjeva množica sv:Cantormängden th:เซตคันทอร์ uk:Множина Кантора

Advertisement