Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжамногочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел , где все различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого .

В простейшем случае это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Файл:Lagrangepolys.png

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы yj lj(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных xi

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

Легко видеть что обладают такими свойствами:

  • Это полиномы степени
  • при

Отсюда следует, что , как линейная комбинация , может иметь степень не больше , и , Q.E.D.

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции известны значения в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от не зависят от , и их можно вычислить заранее, зная последовательность .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку :

,

и, следовательно,

.

Подставив эти выражения в формулу полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от XY, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.


cs:Lagrangeova interpolace nl:Lagrange-polynoom sr:Лагранжов полином uk:Многочлен Лагранжа

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.