Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа[1]

См. также основную статью: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Ошибка, совершенная при замене функции выражением , не превышает по абсолютной величине

где — — максимум абсолютной величины -й производной функции на отрезке .

Интерполяционная формула Ньютона

Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так:



(здесь , а — разности k-ого порядка: ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . При интерполировании функций для значений , близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).


Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Интерполяционная формула Стирлинга


(о значении символа и связи центральных разностей с разностями см. ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений , близких к одному из средних узлов ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов , считая центральным узлом .

Интерполяционная формула Бесселя



применяется при интерполировании функций для значений , близких середине между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов , и располагать их симметрично относительно

Литература

  • Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;

Примечания

Ссылки


Эта статья содержит материал из статьи Интерполяционные формулы русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.