Файл:RiemannInt.png

Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка - . Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков , где , называется рангом разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке , т.е.

Число определено, если

,

В этом случае, сама функция называется интегрируемой (по Риману) на ; в противном случае является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке .

Через суммы Дарбу

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция . Рассмотрим прои ==

Текст заголовка

==

Текст заголовка

==

Текст заголовка

Шаблон:Unicode ==

==
==

Свойства

  • Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a).
  • Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
  • Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на меньшем отрезке , где .
  • Если функция интегрируема на отрезке и на отрезке , то она интегрируема и на отрезке и .
  • Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция тоже интегрируема, и

См. также

Ссылки

ca:Integral de Riemann cs:Riemannův integrál hu:Riemann-integrál lt:Rymano integralas nl:Riemannintegratie pl:Całka Riemanna scn:Ntegrali di Riemann sk:Riemannov integrál sv:Riemann-integral

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.