Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества — это функция, определенная на множестве , которая указывает на приналежность элемента подмножеству .

Термин характеристическая функция уже занят в теории вероятностей. По этой причине, почти исключительно одни вероятностники используют термин индикаторная функция для определяемой здесь функции, в то время как математикам из других областей для описания принадлежности элементов множеству больше нравится использовать термин характеристическая функция.

Определение

Пусть — выбранное подмножество произвольного множества . Функция , определенная следующим образом:

называется индикатором множества .

Альтернативными обозначениями индикатора множества являются: или , а иногда даже . Скобка Иверсона позволяет обозначение .

(Греческая буква происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество с его индикатором инъективно. Если и — два подмножества , то

Более общо, предположим — это набор подмножеств . Ясно, что для любого

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех , которые не принадлежат ни одному множеству и 0 иначе. Поэтому

Разворачивая левую часть, получаем

где — мощность . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если вероятностное пространство с вероятностной мерой , а измеримое множество, то индикатор становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.

См. также


cs:Charakteristická funkce he:פונקציה מציינת lmo:Funziú caraterístega nl:Indicatorfunctie pl:Funkcja charakterystyczna zbioru

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.