В геометрии и топологии замыка́ние подмножества топологического пространства — это пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих данное подмножество. Эквивалентно, замыкание подмножества — это совокупность всех его точек прикосновения.

Точка прикосновения

Определение

Пусть задано топологическое пространство , и подмножество . Точка называется то́чкой прикоснове́ния множества , если любая её окрестность пересекается с . То есть,

Замечание

Очевидно, если , то является точкой прикосновения. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

Пусть - множество действительных чисел со стандартной топологией, и - произвольный интервал. Тогда любая точка является точкой прикосновения .

Замыкание

Определение

Совокупность всех точек прикосновения множества называется замыканием и обозначается или .

Свойства

  1. Операция замыкания является унарной операцией на множестве всех подмножеств .
  2. Замыкание множества содержит само множество, то есть .
  3. Замыкание множества замкнуто.
  4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть .
  5. В частности,
  6. Замыкание множества является наименьшим замкнутым множеством, содержащим , то есть
  7. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
  8. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
  9. Замыкание пересечения есть подмножество пересечения замыканий (но, вообще говоря, не равно ему), то есть

Замечание

Свойство 7 часто принимается в качестве определения замыкания. Данное выше определение тогда выводится в качестве одного из свойств.

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространство является числовая прямая с заданной на ней стандартной топологией.

cs:Uzávěr množiny he:סגור (טופולוגיה) pl:Domknięcie

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.