Замечательные пределы

Замечательный тригонометрический предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ (без доказательства)

Следствия

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin \alpha x}{hx} = k$

$\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1$

Доказательство следствий

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{k \sin kx}{kx} = k$

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = \arcsin x \\ x = \sin u \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\sin u} = 1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = \arctan x \\ x = \tan u \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\tan u} = 1$

Замечательный показательно-степенной предел

$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$ (без доказательства)

Следствия

$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k$

Доказательство следствия

$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = \left [ \begin{matrix} u = \frac{k}{x} \\ x = \frac{k}{u} \\ u \to 0 \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{k}{u} = (\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u})^k = e^k$

Замечательный логарифмический предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

Доказательство предела

• Используя замечательный показательно-степенной предел: $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1$
• Используя правило Лопиталя: $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = (0/0) =\lim_{x \to 0}\frac{(\ln(1 + x))'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+x} = 1$

Замечательный показательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$

Следствия

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1$ для $a > 0 \,\!$, $a \neq 1 \,\!$

Доказательство предела

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1$

Доказательство следствия

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1$

Замечательный степенной предел

$\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha$ (без доказательства)

См. также

• Предел функции
• e (математическая константа)