Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти фунем

Многомерный случай

Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} и

или

Следствия

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
  • Для частных производных сложной функции справедливо
    или в обозначениях Лейбница
  • (Формула полной производной) Пусть где Тогда

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть и Тогда дифференциал функции в точке имеет вид

где — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_0 = f(x_0).} Тогда и Согласно цепному правилу

Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Примеры

  • Пусть и Тогда
  • Пусть и Тогда


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.