Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0) \to V(y_0),$ где $y_0 = f(x_0),$ и $g:V(y_0) \to \mathbb{R}$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),$ и её производная имеет вид:

$h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f(x_{0}).$

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции $y=y(x),$ где $x = x(t),$ принимает следующий вид:

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.$

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z = g(y)$ в точке $y_0$ имеет вид:

$dz = g'(y_0) \, dy,$

где $dy$ — дифференциал тождественного отображения $y \to y$:

$dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}.$

Пусть теперь $y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).$ Тогда $dy = f'(x_0)\, dx$, и согласно цепному правилу:

$dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.$

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример

Пусть $h(x) = (3x^2 - 5x)^7.$ Тогда функция $h$ может быть записана в виде композиции $h = g \circ f,$ где

$f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.$

Дифференцируя эти функции отдельно:

$f'(x)=6x-5,\;g'(y)=7y^{6},$

получаем

$h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).$

Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_0) \subset \mathbb{R}^m \to V(y_0) \subset \mathbb{R}^n,$ где $y_0 = f(x_0),$ и $g:V(y_0) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p.$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0)$ и $g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

$dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0).$

В частности, матрица Якоби функции $h$ является произведением матриц Якоби функций $g$ и $f:$

${\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.$

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведений якобианов индивидуальных функций:

  $\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.$

• Для частных производных сложной функции справедливо

  $\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.$

  или в обозначениях Лейбница

  $\frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots,m.$

• (Формула полной производной) Пусть $f(t,y_1,\ldots,y_m):\mathbb{R}^{m+1} \to \mathbb{R},$ где $y_j = y_j(t,x_1,\ldots,x_n),\; j=1,\ldots m.$ Тогда

  ${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial t}}.$

Примеры

• Пусть $\bigl(x(t),y(t)\bigr) = ( \cos t, \sin t ),$ и $f(x,y) = x^2 - y^2.$ Тогда

  $\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} = 2 \cos t (-\sin t) - 2 \sin t \cos t = -4 \sin t \cos t = -2 \sin 2t.$

• Пусть $f(x,y) = xy,$ и $x(u,v) = u^2 v,\; y(u,v) = v^3.$ Тогда

  $\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = v^3 \cdot 2 uv + u^2 v \cdot 0 = 2uv^4;$

  $\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = v^3 u^2 + u^2 v\cdot 3v^2 = 4 u^2 v^3.$

Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.