Дифференциа́л (от лат. — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

  • Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла.
  • Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение

Определения

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функции линейно зависящей от и для которой верно следующее соотношение

Для отображений

Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Связанные определения

  • Отображение называется дифференцируемым в точке если определён дифференциал .

Свойства

  • Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
    • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Литература

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.