Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Определение

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

Физическая интерпретация

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат

точка поля является источником
точка поля является стоком
стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

  • Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:

или

  • Дивергенция от ротора:

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

,

где Hi — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

См. также


bg:Дивергенция (математика) ca:Divergència cs:Divergence he:דיברגנץ hu:Divergencia (vektoranalízis) nl:Divergentie (vectorveld) pl:Dywergencja sk:Divergencia (vektorové pole) ta:விரிதல் (திசையன் நுண்கணிதம்) uk:Дивергенція vi:Toán tử div

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.