Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма описывющая поведение функции во втором порядке.

Для функции дважды дифференцируемой в точке

или

где (или ) и задана на -мерном действительном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных.

Матрица Гессе

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

Определитель этой матрицы также называется Гессианом.

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации в методе Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квази-ньютоновы алгоритмы, основанные на приближенных выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный такой алгоритм — BFGS.

Симметрия Гессиана

Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен (теорема Клеро), например

Это можно также записать как

Формально, если вторые частные производные f — непрерывные в области D функции, то матрица Гессе симметрична на D.

Критические точки функции

Если градиент (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке , то эта точка называется критической. Достаточные условия существования экстремума в этой точке является знакоопределённость Гессиана f, а именно:

  • если Гессиан положительно определён и не вырожден, то — точка локального минимума функции ;
  • если Гессиан отрицательно определён и не вырожден, то — точка локального максимума функции ;
  • если Гессиан принимает как положительные, так и отрицательные значения, то xседловая точка функции f;

Вариации и обобщения

Если f-векторнозначная функция, то есть

то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга 3.

История

Понятие введено Гессе (1844) который использовал другое название. Термин «Гессиан» был введён Сильвестром.

См. также

Ссылки

  • Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчиления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4


ca:Matriu Hessiana cs:Hessova matice he:מטריצת הסיאן nl:Hessiaan pl:Hesjan sv:Hessian

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.