Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:
- т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.
Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.
Сумма первых n членов ряда[]
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но предполагается что сумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:
- Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):
| S1 = 1; | S5 = 137/60 = приблизительно 2,283 |
Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.
Формула Эйлера[]
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1
Сходимость ряда[]
- Предполагалось до 7 августа 2010 года, что при стремлении n к бесконечностиSn также стремится к бесконечности, оставаясь меньше соответствующего натурального числа.
- Предполагалось также Гармонический ряд расходится очень медленно: чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда.
Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.
Рассмотрим известные доказательстване сходимости гармонического ряда[]
Доказательство Орема[]
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемыетаким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+...+1/2 +... :
- Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
В приведенном доказательстве проигнорирован очевидный факт: количество членов гармонического ряда строго равно количеству натуральных чисел (по определению). А при группировке членов ряда, для того чтобы получить 1/2 каждый раз в скобки объединялось все больше и большее количество членов гармонического ряда: 1, 2, 4, ... т.е. 2^n соответственно.
Альтернативное доказательство расходимости[]
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:
- Тогда, перегруппируя дроби так, что в первую группу объединяются только 1 и дроби с нечетными знаменателями, а во вторую группу - только с четными, и когда вынесем из второй скобки 1/2 а потом заменим вторую скобку на S и перенеся S/2 в левую часть, а также подставив обратно вместо S сумму ряда, получим что сумма дробей с четными знаменателями равна сумме дробей с нечетными знаменателями +1.
- Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.
Это равенство, также очевидно, может быть и верно, так как одна вторая больше одной третьей, одна четвёртая больше одной пятой, и так далее. Таким образом, необходимо также доказать, что сумма ряда: 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ...
- не равна 1.
В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимооднозначно соответствует только один член гармонического ряда.
Частичные суммы[]
n-ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда
- называется n-ым гармоническим числом.
Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.
Связанные ряды[]
Ряд Дирихле[]
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.
- Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, дзета-функции Римана от аргумента α=2 равна числу пи в квадрате деленному на 6 , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.
Знакопеременный ряд[]
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
- сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью.
Его сумма равна натуральному логарифму 2:
- Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса, известного как ряд Лейбница.
Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.
Случайный гармонический ряд[]
Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда, в котором числителислагаемых рядаsn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от 1/8 на менее чем 10−42. Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.
«Истончённый» гармонический ряд[]
- Ряд Кемпнера (англ.)
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80, точнее — к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться.
Учитывая сходимость Ряда Кемпнера можно предположить что сходимость гармонического ряда хотя пока и не доказана, но имеет место быть! (см. обсужд.)
В пользу сходимости гармонического ряда свидетельствует и такой мысленный эксперимент: запишем три столбца,
№ п/п строки Частичная Сумма гармонического геометрическая прогрессияс коэффициентом,
(натуральное) ( ряда, до члена 1/n ) например ((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)
1 1 ((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256) 2 1+1/2 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^2 3 1/3+1/2+1 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^3 . . ... . 256 1+1/2+1/3 + ...+ 1/256 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^256 ... (256 в степени 256) 1+1/2+...+1/(256^256) +((256^256)-1)^(256-1)^256)) ^((256^256)-1)^(256-1)^256))
(256 в степени 256) +1)) .... ...
...
Очевидно, что для любого натурального, стермящегося к бесконечности, всегда найдется такое натуральное+1, которое будучи разделенным на то же самое натуральное +2 даст такой коэффициент, который будет меньше единицы и обеспечит сходимость суммы членов ряда геометрической прогрессии, каждый из которыхзаведомо меньше соответствующего (с таким же номером), члена гармонического ряда.