Вещественные или действительные числа — это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа.

Аксиоматическое определение

Полное упорядоченное поле

Пусть на множестве заданы две бинарные операции и отношение порядка . Четвёрка называется полным упорядоченным полем, если

  1. представляет собой алгебраическое поле;
  2. является полностью упорядоченным множество с отношением порядка , то есть
    • порядок устойчив относительно сложения:
    • порядок устойчив относительно умножения:
      .
  3. упорядоченное множество удовлетворяет принципу полноты Вейерштрасса, то есть любое ограничен

Изоморфизм полных упорядоченных полей

Пусть даны два полных упорядоченных поля и . Тогда они называются изоморфными, если существует биекция такая, что

Любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой. Таким образом с точностью до свойств операций и порядка существует только одно полное упорядоченное поле. Оно называется полем действительных чисел. Аксиомы полного упорядоченного поля, перечисленные выше, называются аксиомами вещественных чисел.

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике . Рассмотрим семейство фундаментальных последовательностей рациональных чисел Назовём две последовательности и эквивалентными, если существует предел

Введённое таким образом отношение является отношением эквивалентности и следовательно разбивает рассматриваемое семейство на непересекающиеся классы эквивалентности. Отождествляя рациональное число с фундаментальной последовательностью , можно считать, что полученное фактор-множество содержит рациональные числа. Зададим на фактор-множестве бинарные операции и порядок следующим образом:

Непосредственно проверяется, что это построение корректно и полученная таким образом четвёрка является полным упорядоченным полем. В силу изоморфизма полных упорядоченных полей эту структуру можно называть полем действительных чисел и более того считать, что

Дедекиндовы сечения

Рассмотрим опять множество рациональных чисел Дедекиндовым сечением множества называется такое его разбиение, что замкнуто снизу, замкнуто сверху, и не содержит наибольшего элемента. Отождествим произвольное рациональное число c сечением где

и введём на семействе Дедекиндовых сечений бинарные операции и порядок следующим образом:

  • , где
  • , где

Опять непосредственное проверяется, что таким образом построено полное упорядоченное поле, содержащее в себе с точностью до изоморфизма рациональные числа. В силу изоморфизма всех упорядоченных линейных полей между собой можно считать полученное поле вещественными числами.

Пример

Число соответствует сечению , где

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда .

Ссылки

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.


Шаблон:Категория только в статьях


Эта статья содержит материал из статьи Вещественное число русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.