Вектор (алгебра)

Определение

Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам). С точки зрения математики, после выбора базиса пространства, вектор представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при изменении базиса и системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новом базисе и новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой объект, не зависящий от выбора базиса и связанной с ним системы координат. Точнее, координаты вектора являются разновидностью тензора — это тензор первого ранга типа (1,0).

Два вектора называются равными, если они:

1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены

Или же — если они имеют одинаковые координаты в некотором (и тогда любом) базисе.

Свободный и связанный векторы

Различают понятие свободного и связанного вектора.

• Связанный вектор — представитель соответствующего класса.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков.

В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми как коэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.

Операции над векторами

Модуль (евклидовая норма) вектора

Вектор в N-мерном евклидовом пространстве имеет $\overline a=(x_1,x_2, ... ,x_n)$. Тогда норма вектора (или его длина) будет равна: $|\overline a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$

Сложение векторов (правило параллелограмма)

Пусть есть два вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$. Построим равные им векторы $\overline {AB}$ и $\overline{B C}$. Вектор $\overline {AC}$ называют суммой векторов и обозначают$\overline {AC}=\overline a+\overline b$. Для операции сложения векторов выполняется свойство дистрибутивности.

Умножение вектора на число

Пусть дан вектор $\overline{a}$ и действительное число $\alpha$. Произведением $\alpha \overline a$ называют такой вектор $\overline{b}$, что

• $|\overline b| =\alpha \;|\overline a|$;
• $\overline{a}$ и $\overline{b}$ колинеарны;
• $\overline{a}$ и $\overline{b}$ сонаправлены, если $\alpha>0$ и противоположно направлены, если $\alpha < 0$.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением $(\overline a,\overline b)$ векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называют число $|a||b| \cos \varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$. Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой $(\overline a,\overline b)= a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n$.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением $[\overline a , \overline b]$ векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называют вектор, имеющий длину $|a||b| \sin \varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$, перпендикулярный векторам $\overline{a}$ и $\overline{b}$ и образующий с ними правую тройку векторов.

Вектор как множество

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение, именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). В математике вектор из n элементов можно символически обозначить несколькими способами:

$\mathfrak A = \mathfrak a = \langle a_1, a_2, ..., a_n\, \rangle = \left ( a_1, a_2, ..., a_n\, \right )$.

Готические (Fraktur) буквы $\mathfrak a$ часто заменяются надчёркнутыми латинскими $\bar{a}$, а вектора физических величин сопровождаются стрелочкой $\vec{a}$.

Длина (модуль) вектора $\mathfrak a$ — скаляр и обозначается $|\mathfrak a|$.

Число элементов вектора — счётное, может быть конечным или бесконечным. Элементы можно получить с помощью дискретной спектральной функции f(ω), где аргумент ω из натурального множества ℕ перечисляет измерения, а функция возвращает значение координаты в этом измерении. Сами вектора, оставаясь одномерными массивами, часто используются для кодирования координат точек, состояний в многомерных пространствах, системах. Данная функциональная трактовка также позволяет обобщить вектор до объекта из непрерывномерного пространства.

Например, скалярное произведение векторов является частным случаем скалярного умножения функций

$\mathfrak{ab} = \sum_{i=1}^n a_i\,b_i$

См. также

• Векторный анализ
• Двумерный вектор
• Трёхмерный вектор
• Нулевой вектор
• Единичный вектор
• Многомерный вектор
• Скалярное произведение
• Векторное произведение

Эта статья содержит материал из статьи Вектор (алгебра) русской Википедии.