Определение

Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам). С точки зрения математики, после выбора базиса пространства, вектор представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при изменении базиса и системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новом базисе и новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой объект, не зависящий от выбора базиса и связанной с ним системы координат. Точнее, координаты вектора являются разновидностью тензора — это тензор первого ранга типа (1,0).

Два вектора называются равными, если они:

  1. коллинеарны
  2. равны по длине
  3. одинаково направлены

Или же — если они имеют одинаковые координаты в некотором (и тогда любом) базисе.

Свободный и связанный векторы

Различают понятие свободного и связанного вектора.

  • Связанный вектор — представитель соответствующего класса.
  • Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков.

В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми как коэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.

Операции над векторами

Модуль (евклидовая норма) вектора

Вектор в N-мерном евклидовом пространстве имеет . Тогда норма вектора (или его длина) будет равна:

Сложение векторов (правило параллелограмма)

Пусть есть два вектора и . Построим равные им векторы и . Вектор называют суммой векторов и обозначают. Для операции сложения векторов выполняется свойство дистрибутивности.

Умножение вектора на число

Пусть дан вектор и действительное число . Произведением называют такой вектор , что

  • ;
  • и колинеарны;
  • и сонаправлены, если и противоположно направлены, если .

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называют число , где — угол между векторами и . Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой .

Векторное произведение векторов

См. также основную статью: Векторное произведение

Векторным произведением векторов и называют вектор, имеющий длину , где угол между векторами и , перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку векторов.

Вектор как множество

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение, именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). В математике вектор из n элементов можно символически обозначить несколькими способами:

.

Готические (Fraktur) буквы часто заменяются надчёркнутыми латинскими , а вектора физических величин сопровождаются стрелочкой .

Длина (модуль) вектора — скаляр и обозначается .

Число элементов вектора — счётное, может быть конечным или бесконечным. Элементы можно получить с помощью дискретной спектральной функции f(ω), где аргумент ω из натурального множества ℕ перечисляет измерения, а функция возвращает значение координаты в этом измерении. Сами вектора, оставаясь одномерными массивами, часто используются для кодирования координат точек, состояний в многомерных пространствах, системах. Данная функциональная трактовка также позволяет обобщить вектор до объекта из непрерывномерного пространства.

Например, скалярное произведение векторов является частным случаем скалярного умножения функций

См. также

Эта статья содержит материал из статьи Вектор (алгебра) русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.