Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, обозначаемый и удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Геометрические свойства векторного произведения

  • Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  • Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b
  • Если e - орт векторного произведения a и b, а S - площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения справедлива формула:

  • Если c - какой-нибудь вектор, π - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула

Алгебраические свойства векторного произведения

  • (свойство антикоммутативности);
  • (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр);
  • (свойство дистрибутивности по сложению);
  • для любого вектора a.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными координатами

то иx векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :

См. также

Смешанное произведение векторов

Ссылки

ca:Producte vectorial cs:Vektorový součin da:Krydsprodukt gl:Produto vectorial he:מכפלה וקטורית hu:Vektoriális szorzat is:Krossfeldi nl:Kruisproduct nn:Kryssprodukt pl:Iloczyn wektorowy sk:Vektorový súčin sl:Vektorski produkt sv:Kryssprodukt th:ผลคูณไขว้ uk:Векторний добуток vi:Nhân vectơ

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.