В математическом анализе вариацией функции из отрезка на вещественной прямой в называется обобщение понятия длины кривой, задаваемой в этой функцией.

Формальное определение

Пусть . Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции на отрезке называется следующая величина:

,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка длин ломаных в , концы которых соответствуют значениям в точках разбиения.

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается . В таком случае определена функция , называющаяся функцией полной вариации для .

Связанные определения

Положительная вариация вещественнозначной функции на отрезке называется следующая величина:

.

Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

.

Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

.

Свойства функций ограниченной вариации

  • Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию.
  • Если , а , то .
  • Если функция непрерывна в точке справа и принадлежит , то .
  • Функция , заданная на отрезке , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей функции на функций (разложение Жордана).
  • Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все I рода.
  • Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция принадлежит классу , то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке , то — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

,

то есть равна интегралу нормы производной.

Обобщения

В случае нескольких, переменных существует несколько определений вариации функции, см. вариация Арцела, вариация Витали, вариация Пъерпонта, плоская вариация Тонелли, вариация Фреше, вариация Харди.

См. также

Литература

  • Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.— Л., 1934.
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.