Бина́рная (или двуме́стная) опера́ция — обобщение сложения, умножения, возведение в степень.

Определение

Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве называется отображение , которое каждой упорядоченной паре элементов , называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества , называемый результа́том.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции результат её применения к двум элементам и записывается в виде .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

См. также основную статью: Коммутативная операция

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

Ассоциативная операция

См. также основную статью: Ассоциативная операция

Бинарная операция называется ассоциативной, если

Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение при однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция называется альтернати́вной если

и .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов называют их произведе́нием и обозначают или . В этом случае нейтральный элемент , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом , называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

См. также

Литература

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.

eo:Operacio (matematiko) et:Binaarne algebraline tehe he:פעולה בינארית nl:Binaire operatie pl:Działanie dwuargumentowe sl:Dvočlena operacija sv:Binär operator uk:Бінарна операція

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.