Исчисление бесконечно малых

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность называется бесконечно малой, если : . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окресности точки , если .

Теоремы о бесконечно малых

  • Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
  • Если — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая последовательность.

Бесконечно большая величина

Последовательность называется бесконечно большой, если : .

Функция называется бесконечно большой в окресности точки , если .

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины(Неопределённости )? Допустим, у нас есть бесконечно малые величины и при .

  • Если , то бесконечно малая величина будет более высокого порядка, чем .
  • Если , то бесконечно малая величина $ \beta $ будет более низкого порядка, чем $ \alpha $ .
  • Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малые величины являются одного порядка.
  • Если , то бесконечно малые величины называются эквивалентными, и пишется .

Примеры

  • При , т. к.
  • , т. е. при и являются бесконечно малыми величинами одного порядка (хоть и не эквивалентны, т.к. ).

См. также

ar:عدد لامتناهي cs:Infinitezimální hodnota gl:Infinitesimal he:אינפיניטסימל nl:Infinitesimaal sv:Infinitesimal

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.