ФЭНДОМ


Исчисление бесконечно малых

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность $ a_n $ называется бесконечно малой, если : $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $. Например, последовательность чисел $ a_n=\frac{1} {n} $ — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окресности точки $ x_0 $, если $ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 $.

Теоремы о бесконечно малых

  • Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
  • Если $ a_n $ — бесконечно малая последовательность, то $ b_n = \frac{1}{a_n} $ — бесконечно большая последовательность.

Бесконечно большая величина

Последовательность $ a_n $ называется бесконечно большой, если : $ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty $.

Функция называется бесконечно большой в окресности точки $ x_0 $, если $ \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty $.

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины(Неопределённости $ \frac{0} {0} $)? Допустим, у нас есть бесконечно малые величины $ \alpha(x) $ и $ \beta(x) $ при $ x\to a $.

  • Если $ \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = 0 $, то бесконечно малая величина $ \beta $ будет более высокого порядка, чем $ \alpha $.
  • Если $ \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = \infty $, то бесконечно малая величина $ \beta $ будет более низкого порядка, чем $ \alpha $ .
  • Если $ \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = c $(предел конечен и не равен 0), то бесконечно малые величины являются одного порядка.
  • Если $ \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = 1 $, то бесконечно малые величины называются эквивалентными, и пишется $ \alpha \thicksim \beta $.

Примеры

  • При $ x \to 0 \quad\sin x \thicksim x $, т. к. $ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x} {x} = 1 $
  • $ \lim_{x \to 0}\frac {2x^2+6x} {x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+6} {1} = \lim_{x \to 0} 2x+6 = 6 $, т. е. при $ x \to 0 \quad 2x^2+6x $ и $ x\,\! $ являются бесконечно малыми величинами одного порядка (хоть и не эквивалентны, т.к. $ 6 \neq 1 $ ).

См. также

ar:عدد لامتناهي

cs:Infinitezimální hodnotagl:Infinitesimalhe:אינפיניטסימל nl:Infinitesimaalsv:Infinitesimal

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.