В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.


Формулировка

Пусть непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для любого из выполнено условие .[1]

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть при каждом вещественном значении переменной является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть обладает теми же свойствами, что и , и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству и для нее сходится интеграл

,

который можно обозначить как . Если положить

,

то

.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен , но и что сходимость равномерная по , меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

,

видим, что вполне определены при всех комплексных и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же периодическая функция с периодом , то являются целыми периодическими функциями. Но тогда

является однозначной и голоморфной функцией в области и, сл-но, разлагается в ряд Лорана

,

поэтому , а значит и можно приблизить тригонометрическими полиномами.

Произвольные функции и их аналитическое представление

В середине 19 века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Ханкель определил их наиболее четко:

О функции от говорят, когда каждому значению переменной , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение ; при этом не существенно, зависит ли от во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.[3]

Фраза "не существенно ... может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций" призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые патологические функции, напр., функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Другие применения

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Ссылки

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

pl:Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa sv:Stone-Weierstrass sats

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.