Определение

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z0, если сужение функции f на некоторую окрестность z0 является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z0 то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z0.

Аналитическая функция (комплексного переменного) - функция комплексного переменного (где и - вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных условий:

  1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши - Римана (аналитичность в смысле Коши - Римана);
  2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
  3. Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трех определений.

Свойства

  1. Если и аналитичны в области , то аналитическими в также будут функции , и .
  2. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в
  3. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в .

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно - определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции - в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме - множество нулей аналитической в односвязной области функции не может иметь в этой области предельных точек, в противном случае функция тождественно равна нулю.

Примеры

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости . Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определенных областях) являются элементарные функции.

Но:

  1. Функция не является аналитической в , так как она не имеет производной в точке .
  2. Функция не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции .


ar:دالة تحليلية bg:Аналитична функция fa:تابع تحليلی he:פונקציה אנליטית pl:Funkcja analityczna uk:Аналітична функція

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.