Аксиомы Пеано — система аксиом, определяющих ряд натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения рациональных и вещественных чисел.

Формулировки

Словесная

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то и тождественны;
  5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Введём функцию , которая сопоставляет числу следующее за ним число.

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .

Дословный текст

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

  1. «1 есть натуральное число»;
  2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
  3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
  4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
  5. Аксиома полной индукции.

Примечание: то, что первый элемент здесь 0, а не 1, принципиального значения не имеет. У студентов, пришедших учиться в университет, тот факт, что 0 - натуральное число, вызывает небольшой шок. Во всех учебниках математики средних школ наименьшим натуральным считается единица (1). 

История

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано основывались на построениях Грассмана, хотя именно Пеано придал им современный вид.

Литература


ca:Axiomes de Peano cs:Peanovy axiomy hu:Giuseppe Peano#A_term.C3.A9szetes_sz.C3.A1mok_Peano-axi.C3.B3m.C3.A1i pms:Assiòma ëd Peano sk:Peanova aritmetika

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.