Файл:Parallel postulate.png

Пересечения прямых

Аксиома параллельности Евклида или пятый постулат — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии впервые описанной в «Началах Евклида».

Шаблон:Начало цитаты И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Шаблон:Конец цитаты

Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает их порядок. В современном издании Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке: Шаблон:Начало цитаты Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей. Шаблон:Конец цитаты

Эквивалент аксиомы: Шаблон:Начало цитаты В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну прямую, параллельную данной. Шаблон:Конец цитаты

В геометрии Лобачевского вместо нее используется аксиома: «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с данной», что позволяет создать альтернативную внутренне логически непротиворечивую систему.


Попытки доказательства

Пятый постулат выглядел более сложным, чем остальные исходные утверждения, кроме того, первые 26 предложений в «Началах» доказываются без его помощи. Математики с древних времён пытались исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы.

За много веков было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг (лат. circulus in demonstrando): оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же 5-го постулата.

Прокл (V век н. э.), опирался в своем доказательстве на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.

Первую известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Лев Гарсонид (или Леви бен Гершон) (1288—1344). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника.

К XVI веку относится доказательство учёного-иезуита Христофора Клавия. Доказательство основывалось на утверждении, что линия, равноотстоящая от прямой — тоже прямая.

После открытия Н. И. Лобачевским и Я. Бояи неевклидовой геометрии и доказательства её непротиворечивости стало ясно, что доказать пятую аксиому Евклида невозможно.

Литература

da:Euklids postulater fa:اصل پنجم اقلیدس he:אקסיומת המקבילים nl:Parallellenpostulaat pl:Postulat równoległości sr:Пети постулат sv:Parallellaxiomet vi:Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.