ФЭНДОМ


Аксиома́тика веще́ственных чи́сел — система аксиом, один из способов определения вещественных (действительных) чисел.2

Аксиомы сложения

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через $ \mathbb{R} $ (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов $ (x, y) $ из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент $ x + y $ из этого же множества, называемый суммой $ x $ и $ y $.

  1. $ \forall x, y \in \mathbb{R}\quad (x + y) = (y + x) $ (коммутативность сложения);
  2. $ \forall x, y, z \in \mathbb{R}\quad (x + y) + z = x + (y + z) $ (ассоциативность сложения);
  3. $ \exists 0\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}\quad x + 0 = x $ (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
  4. $ \forall x \in \mathbb{R}\quad \exists (-x): \quad x + (-x) = 0 $ (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения

На $ \mathbb{R} $ введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов $ (x, y) $ из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент $ x \cdot y $ (или, сокращённо, $ xy $) из этого же множества, называемый произведением $ x $ и $ y $.

  1. $ \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) = (y \cdot x) $ (коммутативность умножения);
  2. $ \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) $ (ассоциативность умножения);
  3. $ \exists 1\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x\cdot 1=x $ (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
  4. $ \forall x\in\mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \exists x^{-1}: \quad x\cdot x^{-1}=1 $ (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения

  1. $ \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z $ (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка

На$ \mathbb{R} $   задано отношение порядка «$ \leq $» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из $ \mathbb{R} $ выполняется хотя бы одно из условий $ x \leq y $или$ y \leq x $.

  1. $ \forall x \in \mathbb{R} \quad x \leq x $;
  2. $ \forall x, y, z \in\mathbb{R} \quad (x \leq y \and y \leq z) \Rightarrow x \leq z $;
  3. $ \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \leq y \and y \leq x) \Rightarrow x=y $.

Связь отношения порядка и сложения

  1. $ \forall x,y,z\in\mathbb{R} \quad x\leq y \quad \Rightarrow \quad x+z\leq y+z $.

Связь отношения порядка и умножения

  1. $ \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \leq y \and 0 \leq z) \Rightarrow x \cdot z \leq y \cdot z $.

Аксиома непрерывности

$ \forall X, Y \subset \mathbb{R} \quad (X, Y \neq \emptyset \;\and\; (\forall x \in X\; \forall y \in Y \quad x \leq y)) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}: \forall x \in X\; \forall y \in Y \ x \leq c \leq y $

Следствия аксиом

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например, единственность нуля, противоположного и обратного элементов.

Шаблон:Нет ссылок

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.