Volum

Volumul unui corp de rotație

Corp obţinut prin rotaţie în jurul lui Ox

Studiem cazul corpurilor de rotaţie obţinute prin rotirea grafic unei funcţii $f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \!$ în jurul axei Ox.

Se împarte intervalul $[a, b] \!$ în n subintervale de lungime egală , deci lungimea fiecărui subinterval va fi $\Delta t= \frac{b-a}{n}. \!$ Construim, de asemenea, numerele $t_i= a+ i \Delta t. \!$

Volumul total al corpului de rotaţie este egal cu suma volumelor $V_i, \!$ ale părţilor din corpul de rotaţie aflate între planele verticale prin $t_i \!$ şi $t_{i+1} \!$:

$V = \sum_0^{n-1} V_i \!$

Pe de altă parte, deoarece pentru n foarte mare $t_i \!$ va fi foarte aproape de $t_{i+1}, \!$ putem spune că partea din corpul de rotaţie aflată între planele verticale $t_i \!$ şi $t_{i+1} \!$ este aproape de cilindru şi deci:

$V_i \approx \Delta t \pi f(t_i)^2 \!$

Prin însumare rezultă că:

$V \approx \sum_0^{n-1} \Delta t \pi f(t_i)^2 \!$

Trecând la limită după $n \to \infty \!$ rezultă că:

$V = \lim_{n \to \infty} \sum_0^{n-1} \Delta t \pi f(t_i)^2 \!$

Suma Riemann din dreapta converge la $\int_a^b \pi f(t_i)^2 dt \!$ şi deci:

$V= \int_a^b \pi f(t)^2 dt. \!$

Exemplu. Să se calculeze volumul sferei unitate centrate în origine.

Sfera unitate centrată în origine este obţinută prin rotirea funcţiei $f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R, \; f(t) = \sqrt {1-t^2}. \!$

$Vol \; (sfera) = \int_{-1}^1 \pi (1-t^2) = \frac 4 3 \pi. \!$

Resurse

• Lecţii de geometrie analitică