Viteza areolară (notată
Ω
{\displaystyle \Omega \!}
mărime fizică egală cu limita către care tinde raportul dintre aria
Δ
A
{\displaystyle \Delta A\!}
punct material în mişcare pe o curbă plană şi timpul
Δ
t
{\displaystyle \Delta t \! }
[1]
Ω
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
A
Δ
t
=
d
A
d
t
=
r
2
ω
2
{\displaystyle \Omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta A}{\Delta t}}={\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}\omega }{2}}\!}
în care:
Δ
A
{\displaystyle \Delta A\!}
aria
M
1
O
M
2
{\displaystyle M_{1}OM_{2}\!}
r - raza vectoare
ω
{\displaystyle \omega \!}
viteza unghiulară .În SI se măsoară în metri pătraţi pe secundă .
mișcări circulare uniforme (de rază R ):
Ω
=
π
R
2
T
,
{\displaystyle \Omega ={\frac {\pi R^{2}}{T}},\!}
în care T este perioada mişcării.
Viteza areolară medie este numeric egală cu aria măturată de raza vectoare în unitatea de timp:
Ω
¯
=
Δ
A
Δ
t
.
{\displaystyle {\bar {\Omega }}={\frac {\Delta A}{\Delta t}}.\!}
O
M
(
t
)
,
t
∈
I
,
{\displaystyle OM(t),\;t\in I,\!}
suprafață conică (adică o suprafață riglată , desfăşurabilă , ale cărei generatoare OM trec prin originea O a sistemului de referință
R
{\displaystyle \mathcal R \!}
Γ
{\displaystyle \Gamma \!}
M parametrizată natural cu ajutorul coordonatei curbilinii s , suprafaţa conică va admite parametrizarea locală dată de formula dată de formula:
O
P
¯
=
k
⋅
r
¯
(
s
)
=
σ
(
k
,
s
)
.
{\displaystyle {\overline {OP}}=k\cdot {\bar {r}}(s)=\sigma (k,s).\!}
Aria suprafeţei "măturate" de segmentul OM atunci când punctul material M a parcurs un arc de curbă de lungime s pe traiectoria
Γ
{\displaystyle \Gamma \!}
A
(
s
)
=
∫
∫
U
¯
(
s
)
|
∂
σ
∂
k
(
k
,
q
)
×
∂
σ
∂
q
(
k
,
q
)
|
d
k
d
q
,
{\displaystyle A(s)={\underset {{\bar {U}}(s)}{\int \int }}\left|{\frac {\partial \sigma }{\partial k}}(k,q)\times {\frac {\partial \sigma }{\partial q}}(k,q)\right|dk\;dq,\!}
unde
U
¯
(
s
)
=
[
0
,
1
]
×
[
0
,
s
]
.
{\displaystyle {\bar {U}}(s)=[0,1]\times [0,s].\!}
∂
σ
∂
k
(
k
,
s
)
×
∂
σ
∂
s
(
k
,
s
)
=
r
¯
(
s
)
×
k
⋅
d
r
¯
d
s
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial k}}(k,s)\times {\frac {\partial \sigma }{\partial s}}(k,s)={\bar {r}}(s)\times k\cdot {\frac {d{\bar {r}}}{ds}}\!}
=
k
[
r
¯
(
s
)
×
d
r
¯
d
s
]
,
{\displaystyle =k\left[{\bar {r}}(s)\times {\frac {d{\bar {r}}}{ds}}\right],\!}
putem scrie că
A
(
s
)
=
(
∫
0
1
k
d
k
)
⋅
(
∫
0
s
|
r
¯
(
q
)
×
d
r
¯
d
q
|
d
q
)
=
{\displaystyle A(s)=\left(\int _{0}^{1}k\;dk\right)\cdot \left(\int _{0}^{s}\left|{\bar {r}}(q)\times {\frac {d{\bar {r}}}{dq}}\right|dq\right)=\!}
=
1
2
∫
0
s
|
r
¯
(
q
)
×
d
r
¯
d
q
|
d
q
,
s
≥
0.
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{s}\left|{\bar {r}}(q)\times {\frac {d{\bar {r}}}{dq}}\right|dq,\;\;s\geq 0.\!}
Apoi, prin derivare în raport cu timpul t , obţinem:
A
=
d
A
d
s
⋅
s
=
1
2
|
r
¯
×
d
r
¯
d
s
|
⋅
=
1
2
|
r
¯
×
(
d
r
¯
d
s
⋅
s
)
|
=
1
2
|
r
¯
×
v
¯
|
.
{\displaystyle A={\frac {dA}{ds}}\cdot s={\frac {1}{2}}\left|{\bar {r}}\times {\frac {d{\bar {r}}}{ds}}\right|\cdot ={\frac {1}{2}}\left|{\bar {r}}\times \left({\frac {d{\bar {r}}}{ds}}\cdot s\right)\right|={\frac {1}{2}}|{\bar {r}}\times {\bar {v}}|.\!}
Introducând vectorul
Ω
→
∈
T
0
R
3
,
{\displaystyle {\vec {\Omega }}\in T_{0}\mathbb {R} ^{3},\!}
Ω
→
∈
Ω
¯
,
Ω
¯
=
d
e
f
1
2
r
¯
×
r
¯
,
{\displaystyle {\vec {\Omega }}\in {\bar {\Omega }},\;{\bar {\Omega }}{\overset {def}{=}}{\frac {1}{2}}{\bar {r}}\times {\bar {r}},\!}
viteză areolară a punctului material M , are loc relaţia:
|
Ω
→
|
=
d
A
d
t
.
{\displaystyle \left|{\vec {\Omega }}\right|={\frac {dA}{dt}}.\!}
Vectorul
Ω
{\displaystyle \Omega \!}
vector-viteză areolară al punctului material M .
Să descompunem vectorii
r
¯
,
v
¯
{\displaystyle {\bar {r}},{\bar {v}}\!}
k
¯
.
{\displaystyle {\bar {k}}.\!}
r
¯
=
(
r
¯
⋅
k
¯
)
k
¯
+
r
¯
⊥
=
r
0
k
¯
+
r
¯
⊥
{\displaystyle {\bar {r}}=({\bar {r}}\cdot {\bar {k}}){\bar {k}}+{\bar {r}}_{\perp }=r_{0}{\bar {k}}+{\bar {r}}_{\perp }\!}
v
¯
=
(
v
¯
⋅
k
¯
)
k
¯
+
v
¯
⊥
=
v
0
l
¯
+
k
¯
⊥
,
{\displaystyle {\bar {v}}=({\bar {v}}\cdot {\bar {k}}){\bar {k}}+{\bar {v}}_{\perp }=v_{0}{\bar {l}}+{\bar {k}}_{\perp },\!}
deducem că:
Ω
¯
⋅
k
¯
=
1
2
(
r
0
k
¯
×
v
¯
⊥
+
r
¯
⊥
×
v
0
k
¯
+
r
¯
⊥
×
v
¯
⊥
)
⋅
k
¯
=
{\displaystyle {\bar {\Omega }}\cdot {\bar {k}}={\frac {1}{2}}(r_{0}{\bar {k}}\times {\bar {v}}_{\perp }+{\bar {r}}_{\perp }\times v_{0}{\bar {k}}+{\bar {r}}_{\perp }\times {\bar {v}}_{\perp })\cdot {\bar {k}}=\!}
=
1
2
(
r
¯
⊥
×
v
¯
⊥
)
⋅
k
¯
=
1
2
(
r
¯
⊥
,
v
¯
⊥
,
k
¯
)
.
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}({\bar {r}}_{\perp }\times {\bar {v}}_{\perp })\cdot {\bar {k}}={\frac {1}{2}}({\bar {r}}_{\perp },{\bar {v}}_{\perp },{\bar {k}}).\!}
Am folosit distributivitatea faţă de adunarea vectorilor a produsului vectorial .
Prin derivare în raport cu timpul t , avem
r
¯
=
r
0
k
¯
+
r
¯
⊥
.
{\displaystyle {\bar {r}}=r_{0}{\bar {k}}+{\bar {r}}_{\perp }.\!}
r
0
=
d
d
t
(
r
¯
⋅
k
¯
)
=
r
¯
⋅
k
¯
=
v
¯
⋅
k
¯
=
v
0
,
{\displaystyle r_{0}={\frac {d}{dt}}({\bar {r}}\cdot {\bar {k}})={\bar {r}}\cdot {\bar {k}}={\bar {v}}\cdot {\bar {k}}=v_{0},\!}
r
¯
⊥
=
v
¯
⊥
.
{\displaystyle {\bar {r}}_{\perp }={\bar {v}}_{\perp }.\!}
Aplicând metoda transformării Prüfer[2]
r
¯
⊥
,
{\displaystyle {\bar {r}}_{\perp },\!}
Ω
¯
⋅
k
¯
=
1
2
r
1
2
θ
1
,
{\displaystyle {\bar {\Omega }}\cdot {\bar {k}}={\frac {1}{2}}r_{1}^{2}\theta _{1},\!}
unde
r
¯
⊥
=
r
1
(
cos
θ
1
⋅
i
¯
+
sin
θ
1
⋅
j
¯
)
.
{\displaystyle {\bar {r}}_{\perp }=r_{1}(\cos \theta _{1}\cdot {\bar {i}}+\sin \theta _{1}\cdot {\bar {j}}).\!}
Note [ ] 
![{\displaystyle {\bar {U}}(s)=[0,1]\times [0,s].\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/83321b08d71dd042e939ee8ab4f1f2230f6fa06a)
![{\displaystyle =k\left[{\bar {r}}(s)\times {\frac {d{\bar {r}}}{ds}}\right],\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/1d1195a85697b5b01f5ed3bb3cfd28a8f919fba8)
