Trigonometrie

Câteva rezultate remarcabile

$\frac{\sin x}{x} = \cos \frac x 2 \cos \frac x 4 \cos \frac x 8 \cdot \cdots \!$

pentru orice $x \in \mathbb R. \!$

Această formulă a fost descoperită de Euler. Luând $x = \frac {\pi}{2} \!$ şi ţinând cont că $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2} \!$ obţinem:

$\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!$

formulă descoperită de Viète în 1593.

Alte formule remarcabile pentru estetica şi simetria lor sunt:

$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac {\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\gamma}{2}, \!$

$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma, \!$

$\sin 3\alpha + \sin 3\beta + \sin 3\gamma = -4 \cos \frac {3\alpha}{2} \cos \frac{3\beta}{2} + \cos \frac{3\gamma}{2}, \!$

$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma. \!$

unde $\alpha, \beta, \gamma \!$ sunt unghiurile unui triunghi.

Istoric

Antichitate

În calculele în care apareau cercuri, vechii egipteni considerau $\pi \approx \frac {256}{81} \approx 3,16049, \!$ deci cu o eroare de 0,6 procente, ceea ce era o realizare pentru acea epocă.

În ceea ce priveşte proiectarea piramidelor, găsim în papirusuri diverse relaţii între laturile acestora şi diversele unghiuri ce intervin. La piramidele lui Keops, Kefren şi Mykerinos, unghiul dintre faţa laterală şi bază este cam acelaşi (în jurul lui $51^{\circ} \!$). Chiar dacă nu putem considera egiptenii ca fiind creatorii trigonometriei, totuşi, prin măiestria calculelor lor, pot fi consideraţi ca precursori ai acestui domeniu matematic.

Conceptele geometrice sunt de două tipuri: calitative (punct, dreaptă, plan) şi cantitative (lungimea unui segment, aria unei regiuni din plan, mărimea unghiului care caracterizează o rotaţie). Conceptul de unghi descrie atât o idee calitativă (intervalul cuprins între două linii care se intersectează) dar şi una cantitativă (valoarea numerică a acestui interval, mărimea unghiului). Cea mai răspândită unitate de măsură pentru unghiuri, gradul sexagesimal, datează de pe vremea babilonienilor.

Hexagon regulat înscris în cerc

Se pare că aceştia divizau cercul în 360 de părţi cu referire la împărţirea anului în 365 de zile. Un alt motiv probabil se datora faptului că aceştia au remarcat că dacă divizăm cercul în şase părţi, coardele obţinute sunt de lungimea razei. În orice caz, chiar dacă nu se ştie exact de ce a fost utilizat sistemul sexagesimal, acesta a fost preluat şi de vechii greci, lucru vizibil şi în tabelele lui Ptolemeu.

De altfel, gradul hexagesimal este utilizat şi în zilele noastre.

Cuvântul grad provine din grecescul $\mu \omicron \iota \rho \alpha$ (moira) preluat de arabi sub forma daraja (oarecum legat de ebraicul dar'ggah, "treapta unei scări"), ca apoi să fie preluat de latini ca de gradus. Aceştia din urmă numeau a şasea parte dintr-un grad pars minuta prima, care la rându-i se diviza în alte şase pars minuta secunda. De aici provin denumirile pentru submultiplii gradului.

Unghiul de un radian

Astăzi se utilizează radianul ca unitate standard pentru măsura unghiurilor sau a mişcărilor de rotaţie. Motivul principal pentru care este folosit se datorează samplificării formulelor. Astfel, lungimea unui arc de cerc este $s =\frac{ \pi r \theta }{180}, \!$ dacă unghiul $\theta \!$ este măsurat în grade şi $s = r \theta , \!$ în cazul utilizării radianului. La fel şi pentru aria sectorului circular, unde formula $A= \frac{\pi r^2 \theta}{360} \!$ devine, prin folosirea radianului, $A = \frac{r^2 \theta}{2}. \!$

Cuvântul radian a fost introdus în 1871 de către James Thomson, fratele celebrului fizician William Thomson Kelvin.

Continuare aici.

Vezi şi

• Funcție trigonometrică
• Trigonometrie sferică

Resurse

• MeditatiiOnline.ro
• Review on Trigonometry
• Trigonometric Delights
• Michael Corral, Trigonometry (cu imagini color)
• AnalyzeMath.com