Teoria măsurii

Introducere

Până spre sfârșitul secolului XIX analiza matematică se limita la studiul funcțiilor continue și se baza pe integrala Riemann.

Inspirându-se din lucrările lui E. Borel și C. Jordan, H. Lebesgue a construit în 1901 o teorie a măsurii pe care a folosit-o ulterior, în cadrul tezei sale de doctorat susținută în 1902, la definirea unei integrale mult mai generale decât integrala Riemann, integrală care îi poartă numele.

Dacă $f : [0; 1] \rightarrow \mathbb R \!$ este o funcție mărginită iar $\delta = \{ x_0, x_1, \cdots , x_n \} \!$ este o divizare a intervalului $[0; 1], \!$ atunci se introduc sumele Darboux superioare și inferioare prin relațiile:

$S(f, \delta) = \sum_{k=1}^n \left [ \underset{x \in [x_{k-1}, x_k]}{sup} f(x) \right ] \cdot (x_k - x_{k-1}), \!$

$s(f, \delta) = \sum_{k=1}^n \left [ \underset{x \in [x_{k-1}, x_k]}{inf} f(x) \right ] \cdot (x_k - x_{k-1}). \!$

Funcția f este integrabilă Riemann pe $[0; 1] \!$ dacă distanța dintre cele două sume poate făcută oricât de mică pentru divizări suficient de fine.

Lebesgue a avut ideea de a inversa lucrurile: fie $\Delta = \{ y_0, y_1, \cdots , y_n \} \!$ o divizare a mulţimii valorilor funcţiei f şi fie suma:

$\sigma (f, \Delta) = \sum_{k=1}^n y_k \cdot \lambda \underset {E_k} {\underbrace{(\{ x \in [0, 1] \; : \; y_{k-1} \le f(x) \le y_k \})}} \!$

unde $\lambda (E_k) \!$ este măsura mulţimii $E_k; \!$ funcţia f va fi inegrabilă dacă sumele $\sigma \!$ au limită când divizările $\Delta \!$ sunt suficient de fine.

Sumele Darboux asociate divizării $\delta = \{ x_0, \cdots , x_5\} \!$ şi suma Lebesgue asociată divizării $\Delta = \{ y_0, \cdots , y_5 \} \!$

În figura din stânga, aria poligonului delimitat de linia continuă superioară, axa Ox şi dreptele $y = x_0 \!$ şi $y= x_5 \!$ reprezintă suma Darboux superioară în timp ce aria poligonului înnegrit este suma Darboux inferioară. Suma Lebesgue $\sigma (f, \Delta) \!$ este aria poligonului din figura dreaptă delimitat de linia continuă superioară, axa Ox şi dreptele $y=0 \!$ şi $y = x_5. \!$

Din cele precizate anterior, construcţia lui Lebesgue este posibilă doar dacă dăm un sens "măsurii" mulţimilor $E_k, \lambda (E_k). \!$

În cele ce urmează, vom extinde noţiunea de lungime a unui interval la o clasă cât mai amplă de submulţimi ale lui $\mathbb R \!$ (clasa mulţimilor măsurabile în sens Lebesgue) aşa fel încât prelungirea să fie numărabil aditivă şi invariantă la translaţii. De asemenea, vom defini funcţiile măsurabile (funcţiile pentru care contraimaginea oricărui interval este o mulţime numărabilă) şi apoi vom identifica pe acelea care sunt integrabile în sens Lebesgue.

Se vor studia apoi proprietăţile clasei funcţiilor integrabile şi ale integralei. Spaţiile $L^p \!$ vor furniza exemple remarcabile de spaţii Banach.

Alte obiective: prezentarea teoriei seriilor Fourier în $L^2 ([-\pi, \pi]), \!$ extinderea măsurii şi integralei în $\mathbb R^2, \mathbb R^3, \!$ studiul măsurilor reale şi teoerema Radon-Nikodym.

Vezi şi

• Măsură Lebesgue

Resurse

• Curs (copie la Wikia)
• Teoria măsurii şi integrala Lebesgue