Teorema lui Stokes

Definiţia 1. Pentru o funcție cu valori reale $f(x,y,z)\!$ şi o curbă $C\in \mathbb {R} ^{3},\!$ parametrizată prin $x=x(t),\;y=y(t),\;z=z(t),\;a\leq t\leq b,\!$ integrala curbilinie de-a lungul lui C în raport cu arcul s este: $\int _{C}f(x,y,z)ds=\int _{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}}dt.\!$   (1) Integrala curbilinie a lui $f(x,y,z)\!$ de-a lungul lui C în raport cu x este: $\int _{C}f(x,y,z)dx=\int _{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt.\!$   (2) Integrala curbilinie a lui $f(x,y,z)\!$ de-a lungul lui C în raport cu y este: $\int _{C}f(x,y,z)dy=\int _{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt.\!$   (3) Integrala curbilinie a lui $f(x,y,z)\!$ de-a lungul lui C în raport cu z este: $\int _{C}f(x,y,z)dz=\int _{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t))z'(t)dt.\!$   (4)

Dacă $f(x,y,z)\geq 0,\!$ atunci integrala curbilinie $\int _{C}f(x,y,z)ds\!$ reprezintă aria domeniului dintre graficul funcţiei şi curba respectivă.

Definiţia 2. Pentru un câmp vectorial $\mathbf {f} (x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf {i} +Q(x,y,z)\mathbf {j} +R(x,y,z)\mathbf {k} \!$ şi o curbă C în $\mathbb R^3 \!$ cu o parametrizare netedă $x=x(t),\;y=y(t),\;z=z(t),\;a\leq t\leq b,\!$ integrala curbilinie de-a lungul lui C este: $\int _{C}\mathbf {f} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}P(x,y,z)dx+\int _{C}Q(x,y,z)dy+\int _{C}R(x,y,z)dz=\!$   (5) $=\int _{a}^{b}\mathbf {f} (x(t),y(t),z(t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt,\!$   (6) unde $\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \!$ este vectorul de poziţie pentru punctele lui C.

Vezi şi

• Teorema lui Green
• Formula Gauss-Ostrogradski

Resurse

• Die Integralsätze der Vektoranalysis
• Maths.Adelaide.edu.au