Math Wiki
Advertisement

Michel Rolle

Teorema lui Rolle susţine faptul că o funcție care are valori egale la capetele unui interval, adimte un punct în acel interval pentru care derivata sa se anulează.

Enunţ[]

Teorema Rolle.png

Fie funcţia

Dacă

  • f este continuă pe intervalul [a, b]
  • f este derivabilă pe (a, b)
  • f(a) = f(b)

Atunci:

Există cel puţin un punct pentru care

Cu alte cuvinte, între două rădăcini ale funcţiei f sa află cel puţin o rădăcină a derivatei f' .

Observaţie: Toate condiţiile din enunţ sunt necesare!. Dacă se renunţă la una din acestea, teorema nu mai este valabilă.

Interpretare geometrică[]

Teorema lui Rolle, interpretare geometrica.png

Tangentele duse prin punctele c corespunzătoare graficului funcţiei sunt paralele cu Ox.

Aplicaţii[]

Exemplul 1[]

Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru

  • continuitate

continuă în x = 0

f continuă pe


  • derivabilitate

f nu este derivabilă în x = 0.

f nu satisface teorema lui Rolle.


Exemplul 2[]

  • continuitate:

  • derivabilitate:

f nu este derivabilă în

f nu satisface teorema lui Rolle.


Exemplul 3[]

Fie funcţia Să se demonstreze că este cuprins între şi


sau nu aparţin intervalului considerat.

(conform corolarului lui Rolle) sau

după cum sau


Exemplul 4[]

Fie funcţia

definită pe

Să se determine parametrii m, n, p, astfel încât funcţiei date să i se poată aplica teorema lui Rolle pe intervalul

  • continuitate

  • derivabilitate

f satisface teorema lui Rolle

Exemplul 5[]

Se consideră funcţia

Aplicând lui f teorema lui Rolle pe fiecare interval întreg, să se arate că ecuaţia are soluţii pe fiecare interval

astfel încât

soluţie a ecuaţiei

Vezi şi[]


Resurse[]

Advertisement