Teorema lui Pascal

Teoremă. Într-un hexagon înscris într-un cerc, punctele de intersecţie ale laturilor opuse sunt coliniare.

Demonstraţie. Fie

$AB \cap DE = \{ L \}; \; \; CB \cap FE = \{ M \}; \; \; AF \cap DC = \{N \}. \!$

Considerăm triunghiul IJK format de prelungirile laturilor $(AB), (CD), (EF). \!$ Aplicăm teorema lui Menelaus pentru triunghiul IJK şi transversalele $ED, BC, AF. \!$

Obţinem următoarele relaţii:

$\frac{EK}{EI} \cdot \frac{DI}{DJ} \cdot \frac{LJ}{LK} = 1 \!$   (1)

$\frac{BJ}{BK} \cdot \frac{CI}{CJ} \cdot \frac{MK}{MI} = 1 \!$   (2)

$\frac{AJ}{AK} \cdot \frac{FK}{FI} \cdot \frac{NI}{NJ} = 1 \!$   (3)

Ţinând cont de relaţiile deduse din scrierea puterilor punctelor $I, J, K \!$ faţă de cerc:

$IC \cdot ID = IE \cdot IF; \; \; JB \cdot JA= CJ \cdot CD; \; \; KA \cdot KB = KE \cdot KF; \!$

şi înmulţind relaţiile (1), (2) şi (3) membru cu membru, obţinem:

$\frac{LJ}{LK} \cdot \frac{MK}{MI} \cdot \frac{NI}{NJ} = 1 \; \Rightarrow \; \!$ conform teoremei lui Menlaus, punctele $L, M, N \!$ coliniare.

Vezi şi

• Concurență
• Coliniaritate
• Puncte conciclice
• Dreapta lui Simson
• Teorema lui Desargues
• Teorema lui Pappus

Resurse

• Points, Lines, Circles
• Math.Rutgers.edu