Math Wiki
Advertisement

Teorema lui Lagrange fig. 1.JPG

Enunţ[]

Teorema creşterilor finite a lui Lagrange mai este deumită şi Prima teoremă a creșterilor finite sau Prima teoremă de medie. Este o generalizare a teoremei lui Rolle, în care funcția considerată nu are neapărat valori egale la capetele intervalului de definiţie.

Teoremă (Lagrange). Fie o funcție care respectă următoarele condiţii:

1) f este continuă pe intervalul închis

2) f este derivabilă pe intervalul deschis

atunci există cel puţin un punct c în intervalul deschis (a, b) (deci ) pentru care:

Consecinţe[]

1) Dacă f'=0, atunci f constantă pe acel interval.2) Dacă f, g au deripe un interval atunci ele diferă pe acel interval doar printr-o constantă.

2) Dacă derivata unei funcţii este (strict) pozitivă (respectiv negativă) pe un interval, atunci funcţia este (strict) crescătoare (respectiv descrescătoare) pe acel interval:

este crescătoare pe E;
este descrescătoare pe E;
este strict crescătoare pe E;
este strict descrescătoare pe E,

unde s-a considerat E fiind interval închis.


3) Fie E interval închis şi Dacă f este continuă în şi derivabilă pe şi există limita atunci f admite derivată în şi avem:

Mai mult, dacă atunci f este derivabilă în şi:

Aplicaţii[]

1) Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange în cazul funcţiei:

Nu s-a putut interpreta (funcție „\begin{cases}” necunoscută): {\displaystyle f: [1, 3] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = \begin{cases} x, & daca \; 1 \le x \le 2 \\ \frac{x^4}{ & daca \; 2 < x \le 3 \end{cases} \!}


Soluţie:

Verificăm continuitate funcţiei:

Verificăm derivabilitatea:

În punctul x=2 avem:

Am obţinut:

deci funcţia este derivabilă şi atunci se poate aplica teorema lui Lagrange:

se disting două cazuri:

  • cazul 1: dacă imposibil
  • cazul 2: dacă


2) Să se demonstreze inegalitatea:


Soluţie. Aplicăm teorema lui Lagrange funcţiei pe intervalul

devine

deci:

Cum avem:

şi

Vezi şi[]

Resurse[]

Advertisement