Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite)

Enunţ

Teorema creşterilor finite a lui Lagrange mai este deumită şi Prima teoremă a creșterilor finite sau Prima teoremă de medie. Este o generalizare a teoremei lui Rolle, în care funcția considerată nu are neapărat valori egale la capetele intervalului de definiţie.

Teoremă (Lagrange). Fie $f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; a, b \in \mathbb R, \; a< b$ o funcție care respectă următoarele condiţii:

1) f este continuă pe intervalul închis $[a, b]; \!$

2) f este derivabilă pe intervalul deschis $(a, b), \!$

atunci există cel puţin un punct c în intervalul deschis (a, b) (deci $c \in (a, b) \!$) pentru care:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}. \!$

Consecinţe

1) Dacă f are derivata nulă pe un interval atunci f este constantă pe acel interval.

2) Dacă f, g au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă pe acel interval doar printr-o constantă.

$f'(x) = g'(x), \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f(x) - g(x) = k, \; \forall x \in E. \!$

3) Dacă derivata unei funcţii este (strict) pozitivă (respectiv negativă) pe un interval, atunci funcţia este (strict) crescătoare (respectiv descrescătoare) pe acel interval:

$f'(x) \ge 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \!$ este crescătoare pe E;

$f'(x) \le 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \!$ este descrescătoare pe E;

$f'(x) > 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \!$ este strict crescătoare pe E;

$f'(x) < 0, \; \forall x \in E \; \Rightarrow \; f \!$ este strict descrescătoare pe E,

unde s-a considerat $f: E \rightarrow \mathbb R, \!$ E fiind interval închis.

4) Fie $f: E \rightarrow \mathbb R, \!$ E interval închis şi $x_0 \in E. \!$ Dacă f este continuă în $x_0 \!$ şi derivabilă pe $E \setminus \{ x_0 \} \!$ şi există limita $\lim_{x \to x_0} f'(x) =l \in \mathbb {\bar R}, \!$ atunci f admite derivată în $x_0 \!$ şi avem:

$f'(x_0) = l. \!$

Mai mult, dacă $l \in \mathbb R, \!$ atunci f este derivabilă în $x_0 \!$ şi:

$f'(x_0) = l. \!$

Aplicaţii

1) Să se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange în cazul funcţiei:

$f:[1,3]\rightarrow \mathbb {R} ,\;f(x)={\begin{cases}x,&daca\;1\leq x\leq 2\\{\frac {x^{4}}{2}}+1,&daca\;2<x\leq 3\end{cases}}\!$

Soluţie

$\lim_{x \to 2, \; x<2} x=2. \!$

Verificăm continuitatea funcţiei:

$f(2) = \lim_{x \to 2, \; x<2} x =2 \!$

$f(2) = \lim_{x \to 2, \; x>2} \frac{x^4}{4}+1 =5 \!$

Verificăm derivabilitatea:

$f'(x) = \begin{cases} 1 & daca \; 1 \le x < 2 \\ \frac x 2 & daca \; 2< \le 3 \end{cases} \!$

În punctul x=2 avem:

$f'_s (2) = \lim_{x \to 2 \; x<2} \frac{x-2}{x-2} =1; \!$

$f'_d (2) = \lim_{x \to 2 \; x>2} \frac{x^2 +1 -2}{x-2} = \frac 1 4 \!$

$f'_d (2) = \lim_{x \to 2 \; x>2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 1 \!$

Am obţinut:

$f'_s = f'_d =1, \!$

deci funcţia este derivabilă şi atunci se poate aplica teorema lui Lagrange:

$\frac{f(3) - f(1)}{3-1} = \frac{\frac 9 4 +1 -1}{2} = \frac 9 8, \!$

se disting două cazuri:

• cazul 1: dacă $c \in (1, 2) \; \Rightarrow \; f'(x) = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; 1=\frac 9 8,$ imposibil
• cazul 2: dacă $c \in (2, 3) \; \Rightarrow \; f'(c) = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; \frac c 2 = \frac 9 8 \; \Leftrightarrow \; c= \frac 94 \in (2, 3).$

2) Să se demonstreze inegalitatea:

$\frac{x}{1+x} < \ln (1+x) < x, \; x>0; \!$

Soluţie. Aplicăm teorema lui Lagrange funcţiei $f(t) = \ln (1+t) \!$ pe intervalul $[0, x]; \!$

$\frac{f(b) - f(a)}{b-a}= f'(c) \!$

devine

$\frac{f(b) - f(0)}{x-0}= f'(c) \!$

deci:

$\frac{\ln (1+t)}{x} = \frac{1}{1+c}. \!$

Cum $0<c< x, \!$ avem:

$1< c+1<x+1 \!$ şi $1>\frac {1}{c+1}>\frac{1}{x+1} \!$

$\Rightarrow \; 1>\frac{\ln (1+x)}{x}> \frac{1}{x+1} \; \Rightarrow \; x> \ln (1+x) > \frac{x}{x+1}. \!$

Vezi şi

• Teoreme de medie
• Teoremele lui Lagrange

Resurse

• MeditatiiOnline.ro
• e-Formule.ro
• Aplicaţii