Teorema lui Bretschneider

(Se mai numeşte şi Teorema întâi a lui Ptolemeu generalizată)

Teoremă: Într-un patrulater ABCD are loc egalitatea:

$AC^{2}\cdot BD^{2}=AB^{2}\cdot CD^{2}+BC^{2}\cdot AD^{2}-2AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA\cos(B+D).\!$

Demonstraţie. Considerăm inversiunea $i_{a,AC^{2}}\!$ de pol $A(a)\!$ şi putere $AC^{2}.\!$

Este clar că:

$i_{a,AC^{2}}(C)=a+{\frac {AC^{2}}{\overline {c-a}}}=a+{\frac {|c-a|^{2}}{c-a}}=a+c-a=c.\!$

Considerăm cazul $m({\hat {B}})+m({\hat {C}})<\pi ,\!$ cazul $m({\hat {B}})+m({\hat {C}})>\pi \!$ tratându-l analog.

Deoarece $\triangle ABC\sim \triangle ACE\!$ şi $\triangle ADC\sim \triangle ACF,\!$ rezultă că:

$m({\hat {ECG}})=\pi -B\!$ şi $m({\hat {ECF}})=\pi -D,\!$

deci

$m({\hat {ECF}})=2\pi -(B+D).\!$

Teorema cosinusului aplicată în triunghiul ECF conduce la:

$EF^{2}=CF^{2}+CE^{2}-2CE\cdot CF\cos(B+D).\!$

Utilizând proprietăţile inversiunii, avem:

$CF={\frac {AC\cdot CD}{AD}},\;\;CE={\frac {AC\cdot BC}{AB}},\;\;EF={\frac {AC^{2}\cdot BD}{AB\cdot AD}}.\!$

După aducerea la acelaşi numitor şi simplificarea prin factorul nenul $AC^{2}\!$ se obţine egalitatea din enunţ.

Observaţie. Teorema este valabilă şi într-un patrulater concav.

Consecinţa 1. În patrulaterul ABCD au loc inegalităţile:

$|AB\cdot CD-BC\cdot AD|<AC\cdot BD\leq AB\cdot CD-BC\cdot AD.\!$

Demonstraţie. Deoarece $1<\cos(B+D)\leq -1,\!$ se ajunge imediat din relaţia lui Bretschneider la această inegalitate.

Consecinţa 2. Patrulaterul ABCD este inscriptibil dacă şi numai dacă suma produselor laturilor opuse este egală cu produsul diagonalelor, adică:

$AC \cdot BD= AB \cdot CD + AD \cdot BC. \!$