Teorema lui Țițeica

Teoremă. Trei cercuri având razele egale se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obţin încă trei puncte de intersecţie. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.

Demonstraţie. Se consideră un triunghi ABC. Fie $\mathcal C(I, r), \!$ respectiv $\mathcal C(O, R), \!$ cercul înscris, respectiv circumscris triunghiului ABC. Se consideră inversiunea $i_{I, -R^2 + OI^2}. \!$ Cercul $\mathcal C(O, R) \!$ se va transforma prin i tot într-un cerc.

Fie $A', B', C' \!$ punctele de intersecţie ale bisectoarelor $[AI, [BI, [CI \!$ cu cercul $\mathcal C(O, R). \!$ Folosind puterea punctului I faţă de cercul $\mathcal C(O, R), \!$ rezultă relaţiile:

$IA \cdot IA' = IB \cdot IB' = IC \cdot IC' = R^2 - OI^2, \!$

de unde

$A'=i(A), \; B'= i(B), \; C'=i(C). \!$

Aceste trei egalităţi arată că:

$T(\mathcal C(O, R)) = \mathcal C(O, R). \!$

Dreapta BC (care nu trece prin polul de inversiune I) se va transforma prin i într-un cerc care trece prin punctele $I, B', C', \!$ astfel încât tangenta în I la acest cerc este paralelă cu BC. Fie D punctul de contact al cercului înscris cu latura [BC]. Deoarece $ID \perp BC, \!$ rezultă că $D'=i(D) \!$ va fi punctul diametral opus lui I în cercul circumscris triunghiului $IB'C'. \!$ Atunci:

$ID \cdot ID' =R^2- OI^2. \!$

Dacă se notează cu $2R_1 \!$ lungimea diametrului $[ID'], \!$ atunci, ultima egalitate se scrie:

$r \cdot 2R_1 = R^2 - OI^2. \!$

Din această egalitate şi din egalitatea lui Euler în triunghiul ABC  $OI^2 = R^2 - 2 Rr,$  se obţine:

$R_1 = R.$

Vezi şi

• Teorema lui Pompeiu