Teorema lui Taylor

Considerăm o serie de puteri $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \!$ cu raza de convergență $R>0.\!$ Fie $f(x) \!$ suma seriei pentru $|x| < R. \!$

Se poate demonstra că f este o funcție derivabilă și derivata verifică egalitatea:

$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot n \cdot x^{n-1} \!$ pentru $|x| < R. \!$

Derivata de ordin k verifică:

$f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n \cdot n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1) \cdot x^{n-k} \!$ pentru $|x| < R. \!$

Dacă $x=0, \!$ atunci:

$a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \!$ pentru $k=1, 2, \cdots \!$

Așadar coeficientul $a_n \!$ al lui $x^n \!$ în seria de puteri este $\frac{f^{(k)}(0)}{n!} \!$ unde $f(x) \!$ este suma seriei de puteri. Deci:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{n!} \cdot x^n \!$ pentru |x|<R.

Pentru valori mici ale lui x, suma $f(x) \!$ poate fi aproximată cu polinomul de gradul N:

$f(0) + \frac {f'(0)}{1!} x + \frac {f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac {f^{(N)}(0)}{N!} x^N \!$

în care N este un număr natural oarecare.

Vom analiza cât de bine aproximează acest polinom funcția $f(x), \!$ în cazul în care $f(x) \!$ nu este neapărat suma unei serii de puteri.

Definiția 1. Fie f o funcție derivabilă de n-ori în 0. Polinomul Taylor de gradul n pentru f în 0 este definit de egalitatea:

$\mathbf T_n f(x) =f(0) + \frac {f'(0)}{1!} x + \frac {f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n. \!$

Exemplul . Fie $f(x) = e^x. \!$ Pentru $k=1, 2, \cdots , \!$ avem $f^{(f)}(0)=1. \!$ Astfel:

$\mathbf T_0 f(x) = 1 \!$

$\mathbf T_1 f(x) = 1+x \!$

$\mathbf T_2 f(x) = 1+x + \frac 1 2 x^2 \!$

Primul rezultat se obține din estimarea diferenței între $f(b), \!$ valoarea funcției date în $x=b \!$ și $\mathbf T_n f(b), \!$ valoarea polinomului Taylor de gradul n în $x=b. \!$

Teorema 1.[Prima teoremă a restului] Dacă f este o funcție de clasă $\mathcal C^{(n+1)} \!$ pe un interval deshis ce conține punctele 0 și b, atunci diferența dintre f și $\mathbf T_n f \!$ în punctul $x=b \!$ este dată de:

$f(b) - \mathbf T_n f(b) = \frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \cdot f^{(n+1)}(c) \!$

în care $c \in (0, b). \!$

Demonstrație. Pentru simplificare, vom presupune că $b>0. \!$ Dacă

$h_n(x) = f(b) - \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k \; \; x \in [0, b]. \!$

atunci $h_n(b) = 0 \!$ și $h_n(0)=f(b)-\mathbf T_n f(b). \!$ Dacă:

$g(x)=h_n(x)- \left ( \frac {b-x}{b} \right )^{n+1} \cdot h_n(0) \; \; x \in [0, b]. \!$

atunci g este continuă pe intervalul $[0, b], \!$ este derivabilă pe intervalul $(0, b) \!$ și este verificată relația $g(0)=g(b)=0. \!$ Conform teoremei lui Rolle, există c între 0 și b astfel încât $g'(c) =0. \!$ După un calcul simplu se obține:

$h'_n(x)=-\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(b-x)^n \!$

Astfel:

$g'(x) = -\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!} (b-x)^n + \frac{(n+1)(b-x)^n}{b^{n+1}} \cdot h_n(0) \!$

și

$0=g'(c) = -\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-x)^n + \frac{(n+1)(b-c)^n}{b^{n+1}} \cdot h_n(0) \!$

obținându-se

$h_n(0)=\frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \cdot f^{n+1}(c). \!$

QED.

Diferența $f(b)-\mathbf T_n f(b) \!$ se notează cu $\mathbf R_n f(b) \!$ și se numește restul aproximării în $x=b. \!$

Astfel:

$f(b)=\mathbf T_n f(b) + \mathbf R_n f(b) \!$

și eroarea de aproximare a lui $f(b) \!$ prin polinomul $\mathbf T_n f(b) \!$ este dată de restul aproximării $\mathbf R_n f(b). \!$ Deoarece $f^{(n+1)} \!$ este continuă pe un interval închis ce conține 0 și b, ea este mărginită pe acest interval. Există un număr M astfel încât $|f^{(n+1)}(c)| \le \mathbf M \!$ și

$| \mathbf R_n f(b)| \le \left | \frac{b^{n+1}}{(n+1)!} \right | \cdot \mathbf M. \!$

Astfel, pentru un n fixat, restul aproximării poate fi mai mic pentru valori ale lu b apropiate de zero.$\!$ Cu alte cuvinte, polinoamele Taylor reprezintă o bună aproximare a funcțiilor în vecinătatea lui $x=0. \!$

Următorul exemplu ilustrează acest fapt.

Exemplu. Dacă $f(x)= \sin x, \!$ atunci:

$T_7f(x) = x- \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \;\;\;\; R_7f(x) = \frac{x^8}{8!}(-\sin c) \!$

pentru c între 0 şi x. Conform primei teoreme a restului se obţine:

$R_7f(0,1) \le \frac{0,1^8}{8!} = 2,48 \cdot 10^{-13}. \!$

Vom arăta în continuare cum polinoamele Taylor pot fi utilizate pentru a dezvolta în serie de puteri funcţia f care este indefinit derivabilă pe un interval deschis ce conţine pe 0 şi pe x. Pentru x avem:

$f(x) = T_n f(x) + R_n f(x). \!$

şi

$\lim_{n \to \infty} T_n f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k \!$ pentru $|x|< R \!$

unde R este raza de convergenţă a seriei de puteri.

Dacă $\lim_{n \to \infty} R_nf(x) =0 \!$ pentru $|x|<R'<R, \!$ pentru o anumită valoare $R' , \!$ atunci:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n \!$ pentru $|x| < R' \!$

Această serie de puteri este numită serie Maclaurin‎‎ pentru f(x).

Exemplu. Dezvoltarea în serie Maclaurin a funcţiei $f(x) = e^x. \!$

Soluţie. În primul rând:

$T_nf(x) = 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} \!$

şi $R_nf(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^c \!$ unde $c \in (0, x). \!$ Seria $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \!$ conform criteriului raportului este absolut convergentă pentru orice număr real x.

$\lim_{n \to \infty} T_nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \!$

Convergenţa la zero a termenului general ($\frac{x^n}{n!} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \!$) implică:

$|R_nf(x)| = \left | \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} e^c \right | \rightarrow 0 \!$ pentru $n \rightarrow \infty \!$

oricare ar fi x fixat. Deci, pentru x fixat, $\lim_{n \to infty} R_nf(x) =0, \!$ şi rezultă:

$e^x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \!$

În mod asemănător, seriile de puteri pot fi generate pentru funcţiile standard. În fiecare caz, suma seriei de puteri este $\lim_{n \to \infty} T_nf(x) \!$ şi egalitatea dintre funcţie şi suma seriei este valabilă pentru acele valori x pentru care:

a) seria de puteri determinată converge şi

b) restul $R_nf(x) \rightarrow 0 \!$ pentru $n \rightarrow \infty. \!$

În alcătuirea următoarei liste, dificultatea constă în stabilirea condiţiei de la punctul b):

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \; \; x \in \mathbb R^1 \!$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!} \; \; x \in \mathbb R^1 \!$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!} \; \; x \in \mathbb R^1 \!$

$(1+x)^t = 1 + \sum{n=1}^{\infty} \frac{t \cdot (t-1) \cdot \cdots \cdot (t-n+1)}{n!} x^n \; \; t \not \in \mathbb N, \; x \in (-1, 1) \!$

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot x^n}{n} \; \; -1 < x \le 1. \!$

Forma restului determinată în prima teoremă se numeşte formă Lagrange.

---

Vezi și

• Serie Maclaurin‎‎
• Serie Fourier
• Serie Laurent

Resurse

• Calcul diferențial și integral (p. 73, 128) (copie la Wikia)
• SOSMath.com
• Taylor Polynomials with Error Term
• Die Taylorformel
• MathWords.com
• Taylor Series Expansion for Exponential Function
• Taylor Series and Asymptotic Expansions