Teoremă.
Dacă sunt patru puncte distincte situate pe un cerc astfel încât atunci
Demonstraţie.
Deosebim cazurile:
1)
Deoarece (subîntind acelaşi arc) şi (opuse la vârf), deducem de unde sau
Observaţie.
E util să reformulăm: dacă atunci pentru orice coardă care conţine punctul M, produsul este constant.
Valoarea constantă a acestui produs înmulţită cu (-1) se notează cu şi se numeşte puterea punctului interior M faţă de cercul dat.
2)
Din obţinem de unde aceeaşi egalitate
Valoarea constantă a acestui produs se notează cu şi se numeşte puterea punctului exterior M faţă de cerc.
Dacă M este un punct fixat, ne propunem acum să determinăm în funcţie de elemente cunoscute, expresia puterii sale faţă de cerc.
1)
E suficient să considerăm coarda (AB) ca fiind diametru şi deci:
2)
La fel, considerăm coliniare (în această ordine) astfel încât (AB) este diametru şi astfel avem:
Observaţie.
Dacă iar dacă MT e tangentă la cerc, punctul T fiind punctul de tangenţă, avem
Aşadar, pentru orice punct M din planul cercului avem:
Aplicaţii[]
Problema 1[]
Dacă şi sunt cercul circumscris, respectiv cercul înscris pentru un triunghi ABC, atunci:
1) Egalitatea se poate demonstra şi cu relaţia Leibniz:
adevărată pentru orice punct M din planul triunghiului ABC.
E suficient să luăm
2) Se poate demonstra şi:
Problema 3[]
Se consideră două puncte fixe A şi B pe diametrul unui semicerc, egal depărtate de centru, iar M şi N două puncte variabile pe semicerc astfel încât
Să se arate că produsul este constant.
Soluţie.
Considerăm tot cercul din care provine semicercul dat şi notăm:
Proiectăm acum O pe MP şi NQ în S, respectiv T.
Punctele sunt coliniare.
Obţinem de unde şi
Deducem acum (coarde egal depărtate de centru) şi astfel
Cum ajungem la:
Puterea punctului A faţă de cerc conduce la:
adică:
(constant)
QED.
Problema 4[]
Se notează cu mijloacele laturilor respectiv ale unui triunghi ABC.
Dreptele AM, BN, CP intersectează cercul circumscris triunghiului ABC în respectiv
Să se demonstreze egalitatea:
Soluţie.
Folosind puterea punctelor faţă de cerc obţinem:
Suma din membrul stâng al inegalităţii propuse se poate acum scrie:
şi analoagele.
Urmează calcule simple, regrupări de factori şi utilizarea unor inegalităţi de tipul
Problema 5[]
Se consideră un cerc în care este înscris triunghiul isoscel ABC ().
Prin A se duce o coardă care intersectează (BC) în E şi cercul în F.
Să se arate că AB este tangentă cercului circumscris triunghiului BEF.
Soluţie.
Deoarece este comun şi (subîntind coarde egale) deducem că de unde: sau
Folosind puterea punctului A exterior cercului circumscris triunghiului BEF obţinem că AB este tangentă la acest cerc.
QED.
Problema 6[]
Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC şi sunt picioarele înălţimilor acestuia (), să se arate că:
Soluţie.
Puterea punctului H faţă de cercul circumscris patrulaterului inscriptibil ABDE (unghiuri formate de diagonale cu laturi opuse sunt congruente - sunt chiar unghiuri drepte) conduce la
Analog pentru un al patrulater inscriptibil.
QED.
Problema 7[]
Se consideră două cercuri
Să se determine locul geometric al punctelor din plan care au puteri egale faţă de cele două cercuri.
Soluţie.
Avem aşadar de găsit mulţimea punctelor M din plan care:
(#)
Fără a restrânge generalitatea problemei, putem considera şi notând condiţia (#) devine:
Ajungem la altă problemă:
Să se determine locul geometric al punctelor M din plan pentru care diferenţa pătratelor la două puncte fixe este constantă.
E suficient să folosim, de exemplu, teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul (sau teorema cosinusului) şi obţinem imediat că, dacă N este proiecţia lui M pe că punctul N este fix, adică locul lui M este o dreaptă perpendiculară pe QED.
Observaţii:
1) Locul astfel determinat se numeşte axa radicală a cercurilor (şi deci este o dreaptă perpendiculară pe linia centrelor)
2) Dacă atunci axa radicală a cercurilor este chiar dreapta AB, iar dacă MN este tangenta comună a acestor cercuri, atunci AB intersectează (MN) în mijlocul acestuia.
Problema 8[]
Se consideră un triunghi ABC şi se notează cu respectiv mijloacele laturilor (AC), respectiv (AB), iar cu H piciorul înălţimii din A.
Să se arate că cercul circumscris triunghiurilor au un punct comun I, iar HI intersectează (B'C') în mijlocul său.
Soluţie:
Considerăm D ca fiind al doilea punct de intersecţie a cercurilor circumscrise triunghiurilor deducem acum:
de unde avem că patrulaterul este inscriptibil, deci I este de fapt punctul D.
În continuare, deoarece triunghiurile şi sunt isoscele ( şi - mediane corespunzătoare ipotenuzelor...), iar deducem că este tangenta comună celor două cercuri (tangentă în respectiv ).
Cum HD (sau HI) este axa radicală a cercurilor respective, obţinem că HI intersectează (B'C') în mijlocul acesteia.
Problema 9[]
În triunghiul ABC se notează
Cercurile cu centrele în de raze respectiv intersectează laturile triunghiului în şase puncte (discurile respective sunt două câte două disjuncte).
Demonstraţi că cele şase puncte sunt conciclice dacă şi numai dacă există egalităţile:
Soluţie:
Notăm
Presupunem că sunt conciclice.
Folosind puterea punctului A faţă de cercul ce conţine cele şase puncte, avem:
adică:
Rezultă:
Analog cu puterea punctului C faţă de acelaşi cerc, avem:
Reciproc, presupunând adevărate egalităţile vom arăta că hexagonul MNPQRS este inscriptibil; vom demonstra aşadar că mediatoarele laturilor sale sunt concurente.
În primul rând, să observăm că mediatoarele laturilor sunt concurente, fiind bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC; notăm punctul de concurenţă cu O şi arătăm că O este situat şi pe celelalte mediatoare.
Notăm cu proiecţiile lui O pe dreptele
Cum O este pe mediatoarea lui [PQ], avem: şi deoarece această mediatoare este şi bisectoarea unghiului deducem:
Obţinem astfel: şi, analog,
Ajungem acum la:
Folosind ipoteza deducem şi apoi sau:
(1)
Analog, din ipoteza ajungem la
(2)
Din (1) şi (2) avem adică sunt mediatoarele laturilor ale hexagonului.
Problema 10[]
Fie tangenta comună a două cercuri de centre şi secante în A şi B.
Dreapta AB intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului în M.
Să se stabilească natura patrulaterului
Soluţie.
Folosim observaţia 2, problema 7 şi astfel punctul de intersecţie este axa radicală a cercurilor şi tangenta comună are proprietatea că
Observăm că şi aşadar
Cum însă deducem şi aşadar este paralelogram.
QED.
Problema 11[]
În triunghiul bisectoarea unghiului intersectează latura în D.
Se consideră cercul tangent la BC în D, care trece prin A, şi se notează cu M al doilea punct de intersecţie al lui AC cu
Se notează cu P al doilea punct de intersecţie al lui BM cu
Să se arate că P este situat pe una din medianele triunghiului ABD.
Soluţie.
Notă cu
Evident,
Deoarece APDM este patrulater inscriptibil, avem imediat:
Cum însă DC este tangentă la în D, deducem:
Acum, din
ajungem la:
Aşadar:
Obţinem acum:
Aşadar şi astfel BC este tangentă la cercul circumscris triunghiului APB.
Deducem acum că AP este axa radicală a celor două cercuri ( şi cercul circumscris triunghiului APB), care intersectează tangenta comună în punctul T.
Deoarece T este axa radicală, acesta are puteri egale faţă de cele două cercuri, adică:
deci P se află pe mediana din A a triunghiului APB.
QED.
Problema 12[]
Se consderă un triunghi ABC şi astfel încât iar P un punct în interiorul triunghiului ADE.
Se notează
Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului PDG, iar Q centru cercului circumscris triunghiului PEF, să se arate că
Soluţie.
Deoarece cele două cercuri se intersectează în P, este suficient să arătăm că AP este axa lor radicală.
Notăm
Din
şi astfel adică H se află pe axa radicală.
Cum concluzia este imediată.
QED.
Problemă propusă[]
Fie ABC un triunghi şi în interiorul său două cercuri şi care se intersectează în punctele M şi N şi astfel încât este tangent dreptelor AB şi BC, iar este tangent dreptelor AC şi BC.
Să se arate că dacă M şi N sunt situate pe mediana din A a triunghiului ABC, atunci ABC este triunghi isoscel.
Reciproca este adevărată?
![{\displaystyle [MN],[PQ],[RS]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/566df93b782eb6f2f132e7861d456435e9636c4b)
![{\displaystyle [NP],RQ],[SM]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/980b9c5c950354902775828add5b3834c5e80039)
